CHAPITRE XII. — MOUVEMENT d’uN POINT SUR UNE COURBE
Pour achever le calcul, on exprimera les coordonnées d’un point de la com be en fonction d’un paramètre q
on aura alors
(2) dx -V- X dy Z dz = (Xcp'-t- X ) dq = Q dq,
Q désignant la quantité Xo^ + + Ztü'. Dans le cas le plus
général qui puisse se présenter, la force dépend à la fois de la |)osition du mobile, de sa vitesse et du temps. Les composantes X, Y, Z et, par conséquent, Q seront alors des fonctions de
^ et et l’équation (i), écrite sous la forme
sera une équation différentielle du second ordre, donnant q en fonction de t.
Dans le cas particulier où la force ne dépend que de la position du mobile, Q est une fonction de q seulement et l’intégration de l’équation se ramène à des quadratures. L’équation des forces vives donne, en effet.
d = Q dq^
On tire de cette équation, après avoir remplacé c- par sa valeur (i), en fonction de ^ :
dt
dq
Vo
Le problème est ainsi résolu par deux quadratures successives. L’expression de comporte un double signe; au début du mouvement on sait quel signe il faut prendre, car le sens de la vitesse initiale donne le signe de la valeur initiale de on conservera ce
signe tant que ne s’annulera pas; si, au bout d’im temps fini,
/(^) s’annule, la vitesse s’annule; le sens de la composante tangentielle de la force détermine alors le sens du mouvement et,
par suite, le signe de
Lorqu’il existe une fonction des forces U(^, 7, 5), la première intégration est immédiate; on a
mv^-
h ayant pour valeur — ^ — U(.2:o,yü, ^o)* achève le calcul
comme ci-dessus, en remplaçant y, z par leurs expressions en fonction de q.
245. Stabilité de l’équilibre. — Supposons que la force X, Y, Z ne dépende que de la position du mobile; la quantité Q est alors une fonction de q seulement, et pour trouver les positions d’équilibre il faut trouver les valeurs q annulant Q (n‘’ 92). Ce problème conduit aux mêmes calculs que la reclierche des maxima et minima de la fonction
U(?)= j(ldq,
qui n’est définie qu’à une constante additive près. Nous vmulons démontrer, d’après Lejeune-Diriclilet, que si, pour une valeur q = cette fonction U est réellement maximum, la position d’équilibre corres])ondante est stable.
Pour simplifier, nous pouvons supposer a =r o, car cela revient à prendre, comme nouveau paramètre, q — a au lieu de q. Nous pouvons aussi supposer que la fonction U(^) s’annule dans la position d’équilibre considérée, q--o\ car cela revient à déterminer convenablement la constante arbitraire qu’on peut ajouter à U(^), c’est-à-dire à prendre
^iq) = f Q-dq.
La fonction U(^) est alors nulle et maximum pour q = 0 : cela veut dire que, s étant un nombre positif quelconque inférieur à
