CHAPITRE XII. — MOUVEMENT ü’UN POINT SUR UNE COURBE

une certaine limite fixe, la (onction U((/) est négative pour toutes les valeurs de autres que zéro, vérifiant la seule condition

Ce nombre £ étant choisi arbitrairement aussi petit qu’on le veut, déplaçons le mobile de la position d’équilibre pour l’amener dans une position initiale correspondant à une valeur q^ du paramètre comprise entre — £ et -1- £, et imprimons-lui une vitesse initiale Cq- Nous allons montrer qu’on peut assigner des nombres positifs a et tels que, sous les seules conditions

Co<a, — p<gro<[3,

le mobile, dans le mouvement qui se produit, ne sorte pas des positions limites correspondant aux valeurs dz £ du paramètre q^ et même n’atteigne pas ces limites. En effet, U(£) et U( — £) étant des quantités négatives et non milles, on peut déterminer un nombre positif p qui soit plus petit à la fois que — U(£) et — U ( — £), de sorte que la somme (J(^) -f- positive pour ^ = o, devienne négative pour ^ = ziz£. D’après le théorème des forces vives, on a, dans le mouvement qui se produit,

Déterminons i^o et q^ par les conditions

la première donne pour Co

une limite supérieure a égale à

la deuxième, à cause de la continuité de la fonction U(^) qui s’annule pour ^ — o, exige que soit en valeur absolue inférieur à un certain nombre positif Alors, si ces conditions initiales sont remplies, on a

et il est évident que q ne peut pas atteindre les limites ± £, car, si q atteignait une de ces limites, la demi-force vive qui est

essentiellement positive, devrait être plus petite que le second membre, qui devient négatif pour ^ = db£; ce qui est absurde. L’équilibre est donc bien stable.

Remarque. — Lorsque la force dépend de la vitesse, Q dépend

uiici ICS vcijcurs UC q qui cIijiiuicijl suus la cuiiuiiiuii = u.

Une de ces positions étant trouvée, pour reconnaître si elle est stable ou instable, il faut étudier le mouvement du point en le supposant infiniment peu écarté de cette position et animé d’une vitesse initiale infiniment petite. On trouvera dans la théorie du mouvement du pendule simple, soumis à une résistance de milieu proportionnelle à e, un exemple de la marche à suivre. Nous développerons plus tard, d’une manière systématique, l’étude des petits mouvements autour d’une position d’équilibre stable.

!246. Mouvement d’un point pesant sur une courbe fixe. — Prenons trois axes rectangulaires, l’axe des étant une verticale dirigée vers le haut. Les projections de la force étant i53)

le travail élémentaire du poids est — mgdz., et l’équation des forces vives donne immédiatement

formule qu’on peut écrire