PM
La valeur numérique de la vitesse est donc la même que si le point était tombé verticalement de P en M sans vitesse initiale.
Supposons que la courbe considérée soit fermée; deux cas peuvent se présenter, suivant que le plan II coupe ou ne coupe pas cette courbe. Quelle que soit la position initiale Mq du mobile, on peut toujours le lancer avec une vitesse Cq suffisamment grande pour que le plan II soit aussi haut qu’on le voudra, puisqu’on a
Supposons donc Cq assez grand pour que II soit au-dessus de la courbe ; la vitesse ne s’annulera jamais, et le mobile tournera indéfiniment sur sa trajectoire. Le mouvement sera périodique, la vitesse maxima se produisant au point le plus bas, et la vitesse minima au point le plus haut.
Admettons maintenant que le plan II coupe la courbe. Soient A, A' deux intersections consécutives; supposons le mobile lancé du point le plus bas Mq de l’arc AA^ vers l’extrémité A. On voit aisément que le mobile arrivera aussi près du point A que l’on voudra; en effet, la vitesse entre Mo et B restera constamment supérieure à BBi étant la distance de B au plan B, et
le mobile arrivera nécessairement en B au bout d’un temps fini. Si la tangente en A n’est pas horizontale, le mobile atteindra ce point; on a, en effet.
y/ 2^' dt =
ds
Comptons les arcs à partir de Mq, et le temps à partir de l’instant
initial; puisque s croît avec t, on devra prendre le signe + dans l’équation ci-dessus et l’on aura
cls
Si la tangente en A n’est pas horizontale, ^ reste fini pour a, et l’élément de l’intégrale devient infini de l’ordre donc cette intégrale reste finie lorsque tend vers a. Le temps T que met le mobile à arriver en A est alors donné par
Après avoir atteint le point A, le mobile redescendra vers Mq, y arrivera avec la vitesse Co et repartira sur l’arc Mo A', où le mouvement sera analogue et durera un temps T, si la tangente en A^ n’est pas horizonlale. Le mouvement est donc une oscillation de A en A', chaque oscillation simple ayant pour durée T -]- T, .
Nous pouvons donner deux limites entre lesquelles T devra être compris; ces deux limites seront d’autant plus voisines que l’arc Mo A sera plus petit. Si l’on pose
clz
ds ‘ ’
on sait que l’on a
d^z d'( y ' ds' ds P ’
P étant le rayon de courbure et y' le cosinus de l’angle que fait ce rayon de courbure avec Taxe des z, cosinus qui est positif, car l’angle est aigu. Soient /i, K les limites de pour l’arc considéré; on aura entre Mq et A
ds^
on en conclut, en intégrant, que
car cette fonction, qui s’annule pour 5 — o, est constamment décroissante, d’après l’inégalité qui précède. La fonction primitive
