CHAPITRE XII. — MOUVEMENT d’uN POINT SUR UNE COURBE

— — 5^ sera par suite toujours décroissante; écrivons qu’elle est constamment supérieure à sa valeur finale, nous aurons

OÙ l est la long^ueur de l’arc Mo A. En remplaçant par le

deuxième membre dans l’expression de T, on aura

En partant de l’inégalité — A =o, on trouverait de la même façon

Si l’on diminue la vitesse initiale de façon à abaisser le plan II jusqu’au voisinage de Mo, les deux quantités. K et k tendent

simultanément vers la même limite, à savoir la valeur de — au

point le plus bas, valeur que nous caractérisons par l’indice zéro. Par conséquent, lorsque l’oscillation aura une amplitude infiniment petite, la durée d’une demi-oscillation simple sera ^ ^ et l’oscillation simple aura pour durée pour la por-

tion Mo A' de la trajectoire, la c[uantité — a même limite que pour

la portion MqA. En particulier, si la trajectoire est un cercle de rayon R dans un plan vertical, on retrouve l’expression connue de

la durée d’une oscillation infiniment petite

Revenons maintenant aux oscillations d’amplitude finie, et considérons le cas où la tangente en A est horizontale. Rappelons la formule qui donne le temps

\Ja — z

Lorsque .3 tend vers a, .9 tend vers la longueur l de Tare MqA, ^ . ds

^ croît indéfiniment, ^ également. Prenante pour variable indépendante, on aura

Soit A l'ordre de l’infiniment petit a — par rapport à 5 — l dans le voisinage de .9= /; Télément de l’intégrale sera infini d’ordre ^ par rapport à ^ ^ si ^ est >1, l’intégrale qui donne t croîtra indéfiniment; si, au contraire, on a ^ <C 1 7 l’intégrale restera finie.

Le premier cas se présente pour un point ordinaire, où l’on a À = 2, comme on le volt en développant, parla formule de Tajlor, .s considéré comme une fonction de s dans le voisinage de s = l et

remarquant que ^ est supposé nul pour s — l. Le second cas peut se présenter pour un point de rebroussement, où en général

\ = Si donc A^est un point ordinaire à tangente horizontale, le

mobile s’approchera indéfiniment de ce point sans jamais l’atteindre. Si A est lin point de rebroussement, le mobile peut y arriver sans vitesse et s’arrêter dans cette position d’équilibre. On en trouvera un exemple dans l’exercice (5).

!247. Réaction normale. Équations intrinsèques. — Si l’on applique les équations intrinsèques du mouvement (n° 200), on trouve d’une part l’équation du mouvement, d’autre part deux équations permettant de calculer la réaction normale.

Menons en M la tangente MT dans le sens des arcs croissants. Soit MC = P le rayon de courbure principal {Jig- i54)i menons la binormale MB. Les équations intrinsèques du mouvement seront actuellement

F,i -i- N„— in — ,

Fc Ne = o ;