CHAPITRE XII. — MOUVEMENT d’uN POINT SUR UNE COURBE
car les seules forces agissant sur M sont F et la réaction normale N.
La première de ces équations, qui n’est autre que l’équation des forces vives sous une autre forme, donne le mouvement sur la courbe, car elle est indépendante de la réaction; les deux autres
Fig. i54.
donneront ensuite la réaction normale par ses eomposantes N^, Ng. Le calcul se simplifie lorsqu’il j a une fonction de forces U. Dans ce cas, l’équation des forces vives est
et, en portant cette valeur de c- dans l’équation (2), on pourra entièrement déterminer la réaction sans connaître le mouvement. L’équation (i) écrite sous la forme
dv ds ds dt
dv 1 dmv°'-
^ ^ 2 ~dl~
est bien identique à eelle des forces vives. Elle montre que le mouvement ne change pas, si l’on déforme la courbe sans changer sa longueur et si l’on modifie la force F sans changer sa composante tangentielle F^. Cette opération modifiera uniquement la réaetion normale. En particulier, on peut de cette façon, sans changer le mouvement, transformer la courbe en une droite et ramener le problème à une question de mouvement rectiligne.
Application. — Comme application de ce qui précède, nous démontrerons le théorème suivant :
Supposons qu’un mobile partant de Mq décrive librement une même trajectoire G, lorsqu’on le lance avec des vitesses successives Uq, Uq? • • •? sous l’action de forces qui respectivement sont F', F", ..., pour chacun des mouvements. Admettons maintenant qu’on lance ce mobile sur une courbe
DYNAMIQUE DU POINT
fixe qui réalise matériellement G et qu’on le soumette au système de forces <y/F', a"F", agissant en même temps, a', a", ... étant des constantes; dans ce dernier cas, la réaction normale de la courbe est dirigée suivant la normale principale et varie en raison inverse du rayon de courbure.
Soient v' , v", v'", ... les vitesses que possède successivement le mobile au point M dans la première série d’expériences. Les équations intrinsèques d’un quelconque de ces mouvements, du premier par exemple, seron t
dv'
dt
, dv'
— mv -J- J ds
m — î Fi>= O
Dans la dernière expérience le point n’est pas libre; il faut donc introduire la réaction normale de la courbe fixe, et les équations du mouvement sont alors
mv ^ a' Fi -h a" F] a"' F^ H- . . . , ds ^ ^
o = INb -é- Fb -i- a" Fh -H a'" Fb -4- . , . .
En tenant compte des équations (i), on a d’abord Nb = o, puis
dv , ,dv „ ,, dv
