CHAPITRE XII. — MOUVEMENT D’UN POINT SUR UNE COURRE. H

tion proportionnelle à la distance au centre, et enfin des attractions des axes en raison inverse du cube de la distance. Si donc on force le point à décrire l’ellipse sous l’action de ces cinq forces simultanées, en le plaçant dans des conditions initiales quelconques, la pression sur l’ellipse varie en raison inverse du rayon de courbure.

248. Pendule simple. — Un pendule simple est constitué j>ar un point matériel pesant mobile sans frottement sur une circonférence située dans un plan vertical ( fig. i55).

Fig. i55.

Prenons les axes indiqués sur la figure et supposons le mobile lancé du point le plus bas Mo(^ = — l) avec une vitesse initiale t’oi ïe théorème des forces vives donne

p2 — — z) avec

1° Supposons d’abord que la droite n(^— a) coupe le cercle en A, A', c’est-à-dire qu’on ait a<C,l^ ou Gomme nous l’avons vu, le

mouvement consistera en oscillations isochrones entre A et A'. Pour étudier le mouvement, nous prendrons pour variable l’angle ^loOM — G. On aura

.5= — /cosO, a= — / cosa,

en appelant a l’angle d’écart maximum Mo OA.

Avec cette variable 0, l’expression de la vitesse est

ds l dt dt

et l’équation des forces vives devient

qu’on peut écrire

d’où

Nous prendrons le signe -h en supposant que le mobile monte. En comptant le temps à partir du moment où le mobile part de Mo, on aura

On est donc ramené à une intégrale elliptique, et l’équation ci-dessus peut s’écrire )

c’est-à-dire

.6 . oc /

sin - = sm - sn I ^

on obtient ainsi les coordonnées /sinO et Zcos6 du mobile en fonction uniforme du temps.

Pour avoir le temps T que met le mobile à aller de Mo en A, il faut faire varier 6 de o à a, c’est-à-dire ii de o à i ; donc, en posant comme d’ordinaire

on aura pour T la valeur K

et la durée de l’oscillation simple sera

( ' ) Voir Principes de la théorie des fonctions elliptiques, par Appell et Lacour (Gauthier-Villars ).