OL (X

Pour les oscillations de faible amplitude, on pourra remplacer sin- par et ne conserver que les deux premiers termes du développement :

^-îv/|4S)'

2® Il nous faut maintenant considérer le cas où la droite II ne rencontre pas le cercle, c’est-à-dire où l’on a « > /. L’équation des forces vives 2^(a — Z) peut s’écrire

^ll

en posant k- = est plus petit que i, puisque a est plus grand

que l. En résolvant par rapport à dt et posant X = -

on aura

'kdt =

sm*<î -

^ I — A-2 sin2 ^

Pj 'enons enfin ii — sin— eomine nouvelle variable; il viendra 2 ’

Il = sn(X^),

c’est-à-dire sin - = sn(Xn. On en déduit

COS - = / 1 — sn2 (X = en (Xi).

Le temps T que met le mobile à arriver au'point le plus haut s’obtient en • faisant varier 0 de o à tt, c’est-à-dire de o à i ; on a donc

XT = K 1=

3“ Il reste enfin à traiter le cas intermédiaire où la droite II serait tangente à la circonférence donnée : a = l. On peut alors effectuer les intégrations à l’aide de fonctions exponentielles, car le module k^ des fonctions elliptiques précédentes devient égal à i. Revenons, en effet, à l’équation des forces vives 2^(« — z); nous l’écrirons

= 2^(Z -4- ZCOSO) = 4^/ COS2 -, •

cos -

et, en intégrant,

La constante d’intégration est nulle, puisque t doit s’annuler avec 6. Lorsque t croît indéfiniment, 6 tend en croissant vers la limite ti; le mobile s’approche indéfiniment du point le plus haut sans jamais l’atteindre. Ce point est une position d’équilibre instable.