CHAPITRE XII. — MOUVEMENT d’uN POINT SUR UNE COURBE

Calcul de la réaction. — La réaction en chaque point est dirigée suivant le rayon du cercle; on la compte positivement vers le centre et négativement dans le sens contraire. Soit alors N sa valeur algébrique; la seconde des équations intrinsèques du mouvement devient

car N coïncide avec sa projection sur la normale principale; on a en outre {fig. i55)

F„ = - mycose =

v^-=-xg{a — z),

et le rayon de courbure p est la longueur l du pendule; par conséquent, on a

2 mg ,

mg

La réaction décroît donc quand le point s’élève sur le cercle, et son maximum, essentiellement positif, a lieu pour le point le plus bas. Cette réaction s’annule et change de signe aux points où la circonférence est coupée

par la droite z = -77-*

D’après ce qui précède, si l’on suppose le mobile lancé dans un tube oirculaire, le point pressera sur la paroi extérieure du tube quand la réaction N sera positive, et sur la paroi intérieure quand N sera négative. Le plus souvent, le point mobile est relié au point fixe par un fil flexible; tant que la réaction est positive, le fil reste tendu ; mais lorsque, après s’être annulée, elle devient négative, le point tend à se rapprocher du centre, et le fil ne peut le maintenir sur la circonférence. Si l’on néglige la masse du fil, le mobile quittera la circonférence au point où N = o et se déplacera librement sous l’action de son poids; il décrira donc une parabole qui se raccordera avec le cercle. Au point de contact de ces deux courbes, le rayon de courbure sera le même; en effet, la vitesse du mobile, ainsi que les forces qui agissent sur lui, varient d’une façon continue au moment où

le mobile quitte le cercle; l’équation intrinsèque qui donne montre

alors que le rayon dé courbure varie aussi d’une façon continue, et les deux courbes sont bien osculatrices, au point de contact. La parabole, ayant son axe vertical, est entièrement déterminée par la condition d’être osculatrice au cercle, au point considéré.

Cherchons maintenant à quelles conditions doivent être assujetties les données pour que le mobile quitte ou ne quitte pas la circonférence. Considérons les droites et II(.s = a) {fg. i55). Si a est négatif,

la réaction ne s’annulera jamais, car, la droite A étant située au-dessus de la droite Tl, le mobile qui oscille entre A et A' ne pourra jamais l’atteindre,

et la réaction restera toujours positive. De même, si ^ est supérieur à /,

la droite A sera extérieure au cercle, et la réaction ne s’annulera pas; le mobile décrira périodiquement la circonférence d’un mouvement continu. La réaction ne s’annulera donc que si l’on a

c’est-à-dire en remplaçant a par sa valeur, si l'on a

< Uo<

Vo désignant, comme plus haut, la vitesse au point le plus bas.

249. Mouvement du pendule simple dans un milieu résistant. — Si l’on veut tenir compte de la résistance du milieu où se fait le mouvement, il suffit d’ajouter aux forces N et — qui agissent sur le mobile, une troisième force R dirigée suivant la tangente, en sens inverse du mouvement et croissant avec la vitesse.

L’équation des forces vives ou la première des équations intrinsèques du mouvement

donnera alors

ml = dt^

— mg sin I

équation dans laquelle les projections sont faites sur la tangente dirigée dans le sens des arcs positifs.

1“ Nous traiterons le cas des oscillations très petites dans un milieu où la résistance est proportionnelle à la vitesse. Dans ces hypothèses, on aura

ml ^ dt

et l’équation du mouvement deviendra, en remplaçant sin6 par 6,

Cette équation convient aussi bien au mouvement descendant qu’au mouvement ascendant, car le signe de R change avec le sens du mouvement. L’équation du mouvement est une équation linéaire à coefficients constants; pour l’intégrer, posons