CHAPITRE I. — THÉORIE DES VECTEURS

par suite

LX MY 4- NZ == 6 E' vol. (P/, P/,),

trent que, quelle que soit la manière de réduire les vecteurs P/^ à deux vecteurs équivalents F et <î>, le tétraèdre (F, <F) est constant et égal à la somme algébrique des tétraèdres obtenus en combinant deux à deux les vecteurs P/^. (Chasles). Pour que les deux vecteurs F et *ï> soient dans un même plan, il faut et il suffil; que le tétraèdre (F, <i>) de Chasles soit nul.

22. Réduction effective de deux systèmes équivalents l’un à l’autre. — Soit d’abord un système (S) équivalent à zéro : les deux vecteurs F et <I>, auxquels on peut le réduire, sont aussi équivalents à zéro, c’est-à-dire, d’après ce que nous avons vu (n° 18), égaux et directement opposés. On peut alors les supprimer et réduire effectivement le système (S) à zéro.

Soient maintenant deux systèmes de vecteurs (S) et (Sq) équivalents; on peut les réduire effectivement l’un à l’autre par les opérations élémentaires. En effet, partons de (S) : ajoutons à (S) le système (So)( — Sq) formé par les vecteurs de (So) et ces memes vecteurs changés de sens ; ce qui estime des opérations élémenlaires répétée un certain nombre de fois. L’ensemble des systèmes (S) et ( — Sq), étant équivalent à zéro, se réduit à zéro par les opérations élémentaires . Il reste donc le système Sq, ce qui démontre la proposition.

23. Couples- — Définition. — On appelle, d’après Poinsot, couple l’ensemble de deux vecteurs P, — P égaux, parallèles et de

Fig. 18.

sens contraires. Le bras de levier du couple est la distance AB {fig‘ 18) des deux vecteurs; le moment du couple est le produit AB. P du bras de levier par un des vecteurs. Quand le moment est

nul, le couple est équivalent à zéro ; car, ou bien les deux vecteurs sont nuis, ou bien AB = o, et alors les deux vecteurs sont égaux et directement opposés.

Un couple étant un système de vecteurs dont la résultante générale est nulle, le moment résultant d’ un couple est constant en grandeur , direction et sens pour tous les points de l’espace. Ce moment résultant s’appelle V axe du couple. L’axe d’un couple est donc un vecteur défini en grandeur, direction et sens, mais dont le point d’ application peut être choisi arbitrairement dans V espace : c’est un vecteur libre. Pour voir quel est ce vecteur, cherchons le moment résultant par rapport à un point O du bras de levier ÀB situé entre A et B; les moments des deux vecteurs Pet — Pserontdirigésperpendiculairementau plan du couple, dans le même sens, car les deux vecteurs Pet — P ont même sens de rotation autour du point O; le moment résultant OG ou axe du couple est donc perpendiculaire au plan du couple et égal à P.OA-+- P.OB, ou à P. AB, c’est-à-dire au moment du couple.

D’après cela, deux couples de même axe sont équivalents, car ils ont tous deux une résultante générale nulle et même moment résultant. Ils pourront donc être réduits Tun à l’autre par les opérations élémentaires. Nous n’entrerons pas ici dans le détail de cette réduction. On la ferait en suivant les indications du n° 22.

Nous nous bornerons à en énoncer les conséquences :

On peut, opérations élémentaires, transformer l’un dans l’autre deux couples, pourvu qu’ils aient même axe, c’està-dire que leurs plans soient parallèles, leurs moments égaux et leurs sens de rotation identiques.

2° Composition des couples. — Un nombre quelconque de couples est toujours équivalent à un couple unique dont l’axe est la somme géométrique des axes des couples composants.

En effet, le système formé par p couples P^ , — P, ; P2, — IL ; • . P^, — P/, est un système de vecteurs dont la résultante générale est nulle. Le moment résultant de ce système est donc le même par rapport à tous les points de l’espace i^fig- 19).

Pour obtenir ce moment résultant OG, par rapport au point O, on peut procéder comme il suit : on prend d’abord le moment ré-