MC2= BC.CP

d’où

dz s ds ~

La projection du poids sur la tangente étant égale à — mg^ sera-

— mg-^> L’équation des forces vives ou l’équation intrinsèque donnedonc

DYNAMIQUE DU POINT

Nous retrouvons la même équation que dans le mouvement rectiligne d’un point matériel attiré par un centre fixe proportionnellement à la distance. Nous aurons pour intégrale générale

s = A cos t

B sin

qui se réduira à

cos^

lorsque le mobile sera abandonné sans vitesse initiale à une distance Sq de l’origine. Dans ces conditions, le temps que met le mobile pour arriver au

point le plus bas est T

— : la durée de l’oscillation est donc indé-

pendante de la position initiale du mobile, c’est-à-dire de l’amplitude : le mouvement est dit tautochrone.

Huygens a réalisé matériellement le pendule cycloïdal de la façon suivante : au point de rebroussement O' de la développée il attache un fil dont la longueur 4 R est égale à l’arc de développée O’ A. D’après les propriétés rappelées plus haut, si l’on assujettit le fil à s’enrouler successivement sur les deux arcs O' A, O' A’, l’extrémité M de ce fil décrit la cycloïde considérée.

Réaction normale.

donne

L’une des équations intrinsèques du mouvement

nw-

Or

P = 2MB, F,i = — mg cos a = — mg

2 R — Z MB

en appelant a l’angle de la normale avec la verticale et remarquant que 2 R — Z est la projection de MB sur la verticale. On a donc

ig{a — z) mg{i^~z)

MB

MB

Dans le cas particulier où le mobile serait abandonné sans vitesse au point de rebroussement, on aurait a = 2R, le premier rapport deviendrait égal au deuxième et la réaction serait

/ng-(2R-^) ___ P

MB “ "•

La réaction est alors égale et opposée au double de la composante normale du poids (Euler).

CIIAI'ITRü: XII. — mouvement d’un point sur une courre.

251. Mouvement d^un point pesant sur une courbe située dans un plan vertical avec résistance de milieu et frottement. — Sup[)osons, pour lixer les idées, que la courbe tourne sa concavité vers le haut et que le mobile se meuve en sens contraire du sens O' S, choisi sur la courbe comme sens positif des arcs s {fig- i58).

Fig. i58.

Appelons a l’angle que fait avec une horizontale la tangente MT, menée dans le sens des arcs positifs. Les forces agissant sur le mobile sont le poids mg\ la réaction normale N, la force de frottement y'N (n° 195) et la résistance de milieu R=r/7icp(c), ces deux dernières forces étant dirigées en sens contraire delà vitesse, c’est-à-dire suivant la tangente MT. Les équations intrinsèques donnent

m = — mg sina -i- /N

N — Tiig cos a.

Éliminant N entre ces deux équations et remplaçant

ou - on a 1 équation

s dv

dii P''*’ T,

= — 2^- (sina — /cos a) H — h 2cp(e).

Le long de la courbe, a et p sont des fonctions connues de s. On a donc là une équation différentielle du premier ordre donnant ç en fonction de s. Une fois cette fonction trouvée, on a ^ en s par une quadrature. Si la résistance est nulle ou proportionnelle au carré de la vitesse <p(c) = l’équation est linéaire en v- et l’on peut achever les calculs.

Le point de la courbe pour lequel sina — /cosa est nul est la

position d’équilibre limite du mobile, en tenant compte du frottement, si l’on appelle aussi f\e, coefficient du frottement au départ

2o2. Courbes tautochrones. — Nous avons trouvé plus baiil que le mouvement d’un point pesant sur la cjcloïde est tautochrone. D’une manière générale, considérons un mobile assujetti à se mouvoir sur une courbe matérielle donnée sous l’action de forces également données. On dit que la courbe est tautochrone s’il existe sur la courbe un point O' tel que le mobile, étant abandonné à lui-même sans vitesse, revienne toujours en O' dans le même temps, quelle que soit la position initiale. Le point O' s’appelle point de tautochronisme .

Il faut tout d’abord distinguer deux cas, suivant que le mobile est sollicité par des forces dépendant seulement de sa position ou par des forces dépendant aussi de sa vitesse.

Premier cas. — Les forces dépendent uniquement de la position. — Le problème se pose alors comme il suit :

Soit F (X, Y, Z) une loi de force donnée, X, Y, Z étant fonctions de y. Z seuls. Sur quelle courbe faut-il assujettir le mobile à glisser sans frottement pour que le mouvement soit tautochrone?

Supposons une de ces courbes tautochrones trouvées et comptons l’arc s à partir du point de tautochronisme O'. L’équation du mouvement est

dt-

dx dv

dz

ds

Le long de la courbe jp, s sont des fonctions de a; X, Y, Z sont donc aussi des fonctions déterminées de s et, dans cette équation, le deuxième membre Ff est une fonction de a. Cette équation est alors identique à l’équation d’un mouvement rectiligne qui s’effectue sur un axe O'a sous l’action d’une force F^, fonction de la seule position du mobile; et l’on veut que ce mouvement soit tautochrone. Or nous avons vu, d’après la méthode de Puiseux, n° 213, que la condition nécessaire et suffisante du tautochronisme est que la force F; soit de la forme — /c-5.