CHAPITRE XII. — MOUVEMENT d’uN POINT SUR UNE COURBE

/r- étant une constante positive. Donc, pour cpie la courbe supposée soit tautochrone, il faut et il suffit qu^on ait

as as

Toutes les courbes vérifiant cette condition unique seront tautochrones. Le point de tautochronisme s — o est évidemment une position d’équilibre slable du mobile glissant sur la courbe.

Pour achever de déterminer le problème, on peut se donner arbitrairement une deuxième condition; voici, par exemple, deux manières différentes de choisir cette condition supplémentaire : 1° On peut assujettir la courbe à se trouver sur une surface donnée

Cette équation et l’équation (i), jointes à l’équation évidente

déterminent en fonction de s. L’intégration de ces équa-

tions introduit deux constantes arbitraires, outre qui a déjà été choisi arbitrairement. Si la force dérive d’une fonction de forces, l’équation (i) s’intégre immédiatement, car on a alors

X Y dy Z dz — d\]{x^ y^ z) = — k-s ds,

U (a7, jK, ^) — H G*

2° Au lieu d’assujettir la courbe à se trouver sur une surface donnée, on peut l’assujettir à être également tautochrone, avec le même point de tautochronisme, pour une deuxième loi de force , Y^ , Z^ ne dépendant que de la position du mobile. Pour cela, il faut et il suffit qu’on ait, avec l’équation (i), la nouvelle équation

(fi)

Les deux équations (i) et (fi), jointes à (3), déterminent^, y, ^ en fonction de s. La courbe obtenue est tautochrone pour la force -H , . . . , X et p. étant des constantes positives.

DYNAMIQUE DU POINT

Lorsque la deuxième loi de force dérive, comme la première, d’une fonction de forces Di, on a aussi

Ui(.r, jK, z) = + Cl :

la courbe cherchée se trouve alors sur la surface