X:|[U(.r, jK, = ^)-C,J

Deuxième cas. — Les forces dépendent de la vitesse. — Supposons que la force (X, Y, Z) dépende ou non de la vitesse et qu’il J ait, de plus, une résistance de milieu, fonction de la vitesse ds

R = cp (c), où U égale L’équation du mouvement sur la courbe cherchée est

d- s 'dp-

dx

ds

ds

dz

ds\

.r, JP, ^ étant des fonctions de 5; le second membre, dont la premierc partie dépend de .r, jp, -s, peut etre exprime

en fonction de .y L’équalion est alors identique à celle du

mouvement rectiligne d’un mobile sur un axe O ^ sous l’action d’une force dépendant de la position et de la vitesse. On ne connaît pas la condition nécessaire et suffisante pour qu’il y ait tautochronisme; on sait seulement qu’il y a tautochronisme quand la force suit certaines lois déterminées, par exemple celle de Lagrange (n‘^ 213). On obtiendra donc des courbes tautochrones en égalant, si cela est possible, l’expression

dx ^ ^dy dz [ ds\

ds ds ds ^\dt)

à l’une de ces lois de force, par exemple à celle de Lagrange.

Nous ne traiterons pas ici ce cas en détail, ni le cas où il y aurait un frottement venant s’ajouter à une résistance de milieu; nous renverrons le lecteur à une Note de M. Darboux [Mécanique de Despeyrous, t. I, Note XIII), à un Mémoire de M. Ha ton de la Goupil Hère [Journal de Liouville, t. XIII, 2® série), et à une Note de M. Hadamard [Procès-verbaux des séances de la