CHAPITRE XII. — MOUVEMENT d’lN POINT SUR UNE COURBE
Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, ^ février 1890).
253. Applications. — Pesanteur sans résistance de milieu ni frottement. — On peut tout d’abord ramener la recherche des courbes tautochrones gauches, sous l’action de la pesanteur, à celle des courbes planes. En effet, imaginons une tautoclirone gauche G et considérons le cylindre projetant cette courbe horizontalement; si l’on développe ce cylindre sur un plan vertical, en maintenant ses génératrices verticales, la courbe G devient une courbe plane G' de même longueur, et la composante tangentielle du poids du mobile n’est pas modifiée. Par conséquent, le mouvement n’est pas changé et la nouvelle courbe est tautoclirone. L’opération inverse permet de repasser de la courbe plane G’ à la courbe gauche G.
Nous allons établir que la seule courbe tautochrone pour la pesanteur, située dans un plan vertical, est la cycloïde.
Prenons pour origine le point de tautochronisme sur la courbe tautoohrone, l’axe des ^ étant vertical et dirigé vers le haut. La force donnée étant la pesanteur, on a actuellement X = o, Y = o, Z= — mg., et la com-
posante tangentielle de la force est — mg-^- Gette composante doit
être de la forme — On a donc, en désignant par constante
positive.
dz
ds
= -H /iLç,
sans ajouter de constante, car .s s’annule avec s. Gette équation est caractéristique d’une cycloïde ayant sa base horizontale et son sommet à l’origine.
2" Deux lois de forces. — Nous avons vu qu’une courbe tautochrone est déterminée à des constantes près, quand on exige que le tautochronisme ait lieu séparément pour deux lois différentes de forces, le point de tautochronisme étant le même pour les deux lois.
Gherchons, par exemple, une courbe qui soit à la fois tautochrone : 1® pour la pesanteur, 2® pour une attraction d’intensité constante f issue d’un axe vertical Oz. Prenons cet axe pour axe Oz en le supposant dirigé vers le haut : nous pourrons toujours choisir l’origine et l’axe Ox de telle façon que le point de tautochronisme soit sur l’axe Ox, à une distance a de l’origine.
Gomme actuellement la première loi de forces dérive de la fonction de forces — g Z et la deuxième de la fonction de forces — fr, en appelant r la distance du mobile à l’axe O^, on a les deux conditions de tautochronisme
car, pour s — o, z doit être nul et r égal à a
Ces équations s’écrivent plus simplement
6 et c désignant des constantes positives.
L’élimination de montre que la courbe doit être située sur la surface
qui est un cône de révolution autour de Oz. Pour achever de la déterminer, prenons un système de coordonnées semi-polaires r, 0 et z. L’élément ds°^ est donné par
( 3 ) = dr’'- -1- r’'- -h dz^- .
Exprimons s et z en fonction de r à l’aide des formules précédentes; l’équation (2) et la deuxième des équations (1) donnent
en substituant dans (3) et réduisant, on a pour l’équation de la projection horizontale
dr
OÙ a désigne une constante positive plus grande que a. Comme la courbe part du point de tautochronisme r = a, 6 = 0, on a pris comme limite inférieure r = a.
La courbe en projection horizontale est comprise entre les deux cercles z=z a r = a; elle est tangente au premier et normale au second, sur lequel elle présente des rehroussements. L’intégration se ramène à l’intégrale d’une fonction rationnelle par la substitution évidente
254. Courbe brachistochrone pour la pesanteur. — Cherchons d’abord la courbe brachistochrone pour la pesanteur . — Etant donnés deux points A B dojit le plus élevé est le point A, cherchons par quelle courbe C il faut joindre ces deux points pour qu’un point matériel pesant, abandonné à lui-même sans vitesse initiale en A et glissant le long de la courbe, arrive en B dans le moindre temps possible.
