OU CO

‘ vz

Nous avons trouvé précédemment (Gliap. VU, § III) que la courbe rendant minimum une intégrale de cette forme est la figure d’équilibre d’un lil sous l’action d’une force dérivant de la fonction de forces — o[x,y,z)^ la tension étant co(x,y, 5). Les trois équations différentielles que nous avons données pour celte courbe se réduisent à deux, comme nous l’avons vu.

Dans le problème que nous étudions, la force

do

ào

qui agirait sur le fil serait verticale, puisqu’on a

la figure d’équilibre est dans le plan vertical passant par les deux points donnés. Si l’on prend alors ce plan pour plan des xz^ il suffira d’une équation pour définir la courbe. Nous prendrons la

première des équations générales — ^ds = o, qui

réduit à

(?cp

dæ

se-

, , I dx\

yï

I dx ^ s! Z ds -

par suite

dx’^ = Z ds^- = Çjr zi^dx- dz’’-).

Les variables se séparent et l’on a, en posant ^ 2R,

y ‘iR—z

dx dz

équation différentielle d’une cycloïde dont la base est l’axe Ox. On retrouverait facilement les équations de la courbe sous la formeliabltuelle en faisant

-S = R“(i — cos 6),

= 2 R sin^ - <i0, -4- R ( Q — sinO).

La cycloïde devant passer par le point A, Xq— o, et le point A est le point de rebroussement de la courbe {fig. i5g). Pour achever de déterminer la cycloïde G passant par les deux points A et B, on construit une quelconque G' des cycloïdes ayant A pour rebroussement et pour base A^, on joint AB qui coupe G' en B', puis on transforme la cycloïde G' par homothétie en prenant pour centre d’homothétie le point A et pour rapport d’homothétie le rapport de AB' à AB.

Dans ce qui précède, nous avons, pour simplifier, supposé nulle la vitesse initiale avec laquelle le mobile part de A. Si l’on voulait trouver la courbe de plus rapide descente de A en B en supposant que le mobile est lancé en A le long de cette