CHAPITRE XII. — MOUVEMENT d’uN POINT SUR UNE COURBE
courbe avec une vitesse donnée Co, il suffirait de remplacer l’intégrale
La courbe serait encore une cycloide ayant sa base horizontale,
mais cette base serait située à la bauteur ^ =
‘ig
Ossian Bonnet a démontré directement que la cycloïde donne elfecti vement le temps de descente minimum.
2d5. Brachistochrones en général. — Supposons un mobile sollicité par une force F dérivant d’une fonction de forces U(ic, z). Cherchons la courbe G par laquelle il faut joindre deux points A et B pour que le mobile, étant assujetti à glisser sans frottement le long de cette courbe et lancé de A avec une vitesse donnée Çq, arrive en B dans le moindre temps possible (^g. 159). Cette courbe G est brachistochrone pour la loi de force donnée. Le théorème des forces vives donne, en appelant y'o, ^0 les coordonnées de A,
7nv^
U(a7, JK, ^) — U (a7o, yo, Zo)
ou, en posant
/ TT/
h = — U(a7o, jo, ^0),
dt ’
ds
ds
Telle est l’intégrale qu’il s’agit de rendre minimum; elle rentre dans le type général étudié dans le Chapitre VII, paragraphe III, en faisant
oix, y. z') — — •
v/2 U (37, JK, -S ) -h 2 /î.
D’après ce que nous avons a^u dans le Chapitre VII sur les courbes ren-
dant minimum l’intégrale / y z) ds, la courbe cherchée sera la
figure d’équilibre d’un fil flexible soumis à l’action de la force Fi qui a
pour projections
ôx ^2(U + /o’ v/2(irrxj’ /^(ÜTpTïj’
la tension du fil étant »
Les équations qu’on obtient ainsi ont été données par Roger {^Journal de Lioiiville, 1848).
On sait qu’on peut ramener le problème à des quadratures lorsque cette force fictive F, et, par conséquent, la force F résultent de l’attraction d’un point, d’une droite ou d’un plan fixe en fonction de la distance.
Théorème d’Euler. — Dans le inoiivement hrachistochrone , la réaction normale est dirigée suivant la normale principale, égale et opposée au double de la composante normale de la force.
En effet, regardons la courbe comme la figure d’équilibre d’un fil. Les composantes de la force fictive Fi agissant sur le fil qui est supposé remplacer la courbe sont
Xi=.[2(U-f-/r)]
dU
Yi-[2(Uh-A)1 2,
- 3 dU
Zi = [2(U-h/.;]
la tension du fil étant
D’autre part, la force F qui agit réellement sur le mobile a pour projections
ôx ^ djK ’ dz’
les équations intrinsèques de l’équilibre du fil donnent ^
Les projections de Fi sur les trois axes étant égales aux projections
de F multipliées par [2(U H- /i)] •^, il en est de même des projections sur la binormale et la normale. On a donc
Fb = O,
