CHAPITRE XII. — MOUVEMENT D’uN POINT SUR UNE COURBE
d’où
OU, d’après l’équation des forces vives,
¥n = — ni
Prenons maintenant les équations intrinsèques du mouvement; nous aurons
Fji-i-NB = o, F,j-i-N/i=/7r — ?
OU, en tenant compte des équations (r) et (2),
Ces deux inégalités démontrent la proposition énoncée, que nous avons vérifiée pour la cycloïde (n" 250). On peut consulter au sujet de ce théorème une Note de M. Andoyer {Comptes rendus, t. G).
M. Haton de la Goupillière a complété l’étude des brachistochrones en traitant le cas d’un système de forces dépendant de la vitesse avec frottement, et en résolvant le problème inverse des brachistochrones {Mémoires de Académie, t. XXVII et XXVIII).
256. Application des théorèmes de Tait et Thomson aux brachistochrones. — Nous avons indiqué dans le Chapitre VII plusieurs propriétés intéressantes des couibcs rendant minimum une intégrale de la forme
ds.
Ces propriétés, appliquées en particulier aux courbes brachistochrones, s’énoncent sous une forme simple. On obtient les courbes brachistochrones relatives à une loi de forces dérivant d’une fonction de forces U(a7, jK, ^), en cherchant les courbes rendant minimum l’intégrale
ds
h ayant une valeur déterminée. Cette valeur étant choisie, dans tous les mouvements que l’on considère les coordonnées de la position initiale et la grandeur de la vitesse initiale sont liées par la relation
— U(a7o,jo, '^o) = h.
L’intégrale (i) deviendra donc identique à (2) si l’on prend
cpicr, Y Z ) — ^
/•2[U(a7,jK, -) + AJ
et la valeur de l'intégrale I prise le long d’une courbe est précisément égale au temps t que met un mobile de masse i à parcourir cette courbe, sous l’action de la force considérée, dans les conditions initiales que nous venons d’indiquer.
Les courbes brachistochrones sont alors les courbes appelées précédemment (n” 146), les courbes C, qui dépendent de quatre constantes arbitraires. Par exemple, si l’on fait U = — gz^ h = o, les brachistochrones sont des cycloïdes situées dans des plans verticaux au-dessous du plan des xy et ayant leqrs rebroussements dans le plan des xy.
Revenant au cas général, nous verrons que la formule fondamentale de Tait et Thomson s’énonce ainsi :
Soient AGB et AiGiBi deux courbes brachistochrones infiniment voisines parcourues par un mobile de masse 1, la première pendant le temps t, la deuxième pendant le temps ^ ; o/i. a (n° 147)
