AA I L B

tt — — cos BAAi — cos ABBi,

v/2(UaH- h) /2(Uii4-A)

Ua et \]h désignant les valeurs de U aux extrémités A B.

Voici quelle forme prennent alors les propositions énoncées dans le n° 147 comme application de la formule de Tait et Thomson :

i" Étant données deux surfaces fixes S et S, la courbe qu’il faut tracer de l’une des surfaces à l’autre pour que le mobile assujetti à glisser sur cette courbe, dans les conditions initiales indiquées, mette le temps minimum à la parcourir, est une brachistoclirone normale à la fois aux deux surfaces. Le théorème subsiste si l’une ou l’autre des surfaces, ou toutes les deux, sont remplacées par des courbes ou des points.

Par exemple, étant donnés un point A et un plan P, la courbe qu’il faut tracer de A jusqu’au plan pour qu’un mobile pesant, abandonné sur cette courbe sans vitesse au point A, mette le moindre temps possible à arriver au plan, est une cycloïde située dans un plan vertical, ayant une base horizontale, admettant un rebroussement en A et coupant normalement le plan P.

2" Si l’on considère les brachistochrones normales à une surface S et si on lance sur toutes ces brachistochrones, au même instant initial t=o, des mobiles identiques au mobile donné dans les conditions initiales indiquées, à un instant quelconque tous ces mobiles se trouveront sur une surface S' également normale aux brachistochrones. (Ge théorème a déjà été indiqué par Euler.)

Par exemple, si l’on considère toutes les cycloïdes issues d’un point A