CHAPITRE XII. — MOUVEMENT I)’UN POINT SUR UNE COURRE

et admettant ce point pour rebroussement, avec une tangente verticale A .5, et si Ton abandonne à l’instant i = o, sans vitesse, des points pesants sur toutes ces cycloïdes, à un instant quelconque t ces mobiles seront sur une surface S' normale à toutes les cycloïdes. Dans cet exemple, la surface S est réduite à un point A : la surface S' est évidemment de révolution autour de Az.

Nous proposerons comme exercice la vérification de cette proposition sur la cycloïde.

3° Enfin la formule de Tait et Thomson permettrait d’énoncer également pour les brachistochrones des théorèmes analogues aux propriétés des développées, en remplaçant, dans les énoncés classiques, les longueurs des ares de eourbes par les temps que le mobile mettrait à les pareouiir s’il était assujetti à glisser sur ces arcs sans frottement. Nous n’insisterons pas sur ce point que nous proposons comme exerciee.

257. Brachistochrones sur une surface donnée. — Il s’agit alors (le trouver sur une surfaee donnée f(x,y^z) = o, parmi toutes les eourbes joignant deux points A et B, eelles qui rendent

à eelui qui a été traité au n° 149, sauf le eliangement de z)

en - Il se ramène à la reelierche de l’équilibre d’un fil

sur la surfaee donnée.