VARIABLE

258. Équations du mouvement. — Nous supposerons un mobile assujetti à glisser sans frottement sur une eourbe C dont la forme et la position varient avee le temps; rapportées à des axes fixes, les équations de eelte courbe seront

l’intég

f{x,y,z,t) = O, fi{x,y,z, t) = O.

La réaction normale N de la courbe aura pour projections

et l’on pourra considérer le mobile comme libre, mais soumis à l’action des forces données de résultante F et de la réaction N ;

les équations du mouvement seront alors

d^-x . df -.‘àfx

m-— = X + H- Xi -Ç-, dt- dx dx

àf

m = Y-t-X^ + Xi^, dt^ dy dy

d’^z ^ df df^

Ces trois équations, jointes aux équations de la courbe, détermineront y, s, c’est-à-dire le mouvement du point, et X, X, ,. c’est-à-dire la réaction en fonction du temps. Il est bon de remarquer que la réaction ne disparaît pas dans l’équation des forcesvives. On peut s’en assurer analytiquement en multipliant les équations (i) par dx, dy^ dz et ajoutant*, dans cette combinaison les coefficients de X et de Xi ne sont pas nuis. En effet, quand t croît de dt^ y^ z croissent de dx^ dy^ dz et, la fonction f[x, y^ z^ t) restant nulle, on a

dx

df ^ df ^ df ^

— — dy — t— — ; — dz -|- — — dt — O ' dy dz dt

le coefficient de X se réduit donc à — même celui de X,,

dfi

dt

^-dt.

Ce même fait résulte géométriquement de ce que, le déplacement réel du point ne se faisant pas tangentiellement à la courbe mobile, le travail de la réaction n’est pas nul. Pour éliminer la réaction, on opérera comme il suit.

259. Équation de Lagrange. — Soit q le paramètre qui définit la position d’un point sur la courbe C; à l’instant t les coordonnées d’un point de cette courbe et, en particulier, celles du mobile seront

le mouvement du mobile sera connu lorsqu’on aura défini la variation de q en fonction de t.

Multiplions les équations du mouvement (i) respectivement par

dx^ gt ajoutons-les ; les coefficients de X et de X, s’an-

dq dq dq