CHAPITRE XII. — MOUVEMENT d’üN POINT SUR UNE COURBE

nulent; car ils représentent, à un facteur près, les cosinus des angles c[ue fait la tangente à la courbe G avec les normales à chacune des surfaces f= = o*, il reste alors

f d’^x dx d^y ây d^z \ p.

\ dq dt^ dq dt'^ dq J ’

en posant

dq dq

C’est là l’équation du mouvement définissant en fonction de t la valeur du paramètre q qui sert à fixer la position du point sur la courbe. Pour écrire cette équation d’une manière commode, nous emploierons une transformation importante qui est due à Lagrange et que nous retrouverons dans le problème le plus général de la Dynamique des systèmes liolonomes.

Appelons ÿ la dérivée du paramètre q par rapport au temps, et x\ z' les projections de la vitesse du mobile sur les axes. D’après la formule x=. ^{q, ^), l’abscisse x du mobile dépend du temps directement et par l’intermédiaire de q^ qui est une fonction de on a donc

dx

dx

Considérant x' comme une fonction des trois lettres q^ q' ^ on

a manifestement

àx^ dx dx' d‘'-x , d^x

dq' dq^ dq dq^ ^ ' dq dt

Cette dernière formule montre que

dx' __ d [àx\ dq dt\dq

car,

dx

dépendant de t directement et par l’intermédiaire de q^

d ( àx\ à^x

dt\dq) ~~ dq'^^ dq dt

on a

On établira pour x y des formules analogues :

àf ày

dq' dq '

dz’ dz dq' ôq

ày' d / ày

dq

dz'

dt \ dq d (dz

dt \ dq

Cela posé, l’équation (2) peut évidemment s’écrire

dt

dx , dy dq ^ ^ dq

[ rd ^

f dx\

(ày\

dt *

\àq)

\àq)\

car — rrr est égal a

dx

dt^ O''- "

dx ày dz

’ En remplaçant dans cette dernière

équation ^ par leurs valeurs ci-dessus ^

^ dq dq dq ^ dq dq dq

d ( dx\ d i dy\ d f dz\ , , dx' dy' dz'

dt[^) valeurs

l’équation

) on a

d\ ( ,dx' ,dy' t

ày'

dq

dz'\

àqj

OU enfin, en désignant par T la demi-force vive du mobile

dt

C’est là l’équation du mouvement d’après Lagrange. La quantité T, après qu’on y a remplacé x’ ^ y\ z' par leurs valeurs analogues à (3), devient une fonction de q, q' et t, du second degré par rapport à cjl . Une fois cette fonction T ainsi calculée, on écrit immédiatement l’équation (4)-

Nous avons écrit plus haut la valeur de Q. On peut déterminer cette quantité Q à l’aide de la remarque suivante. Imaginons qu’on imprime au point mobile le déplacement virtuel qu’on obtiendrait en laissant la courbe C immobile dans la position qu’elle occupe à l’instant t et déplaçant le point sur cette courbe; ou, analytiquement, imaginons qu’on imprime au point le déplace-