CHAPITRE XII. — MOUVEMENT d’uN POINT SUR UNE COURBE

ment obtenu en laissant t constant et faisant croître q de oq\ on a alors

.V àx ^ ùx = —oq, dq ^

rv ày -

ùz — oq .

dq ^

Pour ce déplacement virtuel, le travail de la force donnée X, Y, Z est

XS^ + Y8j + Z5^ = (x^+y|^ + Z^)s5r = Qa?.

La quantité Q est donc le coefficient de ùq dans Pexpression de ce travail virtuel.

S’il existe une fonction de forces \j[x^ y, s), ou même si, plus généralement, X, Y, Z sont les dérivées partielles par rapport à y, .s d’une fonction \J(x, z, t) contenant le temps, on a aussi

cette dernière dérivée étant calculée après qu’on a remplacé, dans \](Xjy, ^), les coordonnées par leurs expressions en fonctions

de t et q. En effet, on a évidemment, U dépendant de q, par l’intermédiaire de x^ y^ z^

d\] (^U dx ày àz dx ^ dy ^ àz

dq dx dq dy dq dz dq dq dq dq

260. Problème. — Un point matériel glisse sans frottement sur une circonférence située dans un plan horizontal xO y et tournant avec une vitesse angulaire constante w autour d'un de ses points O qui est' fixe. Etudier le mouvement du point en supposant qu’il n’est sollicité par aucune force directement appliquée.

Soit A le point de la circonférence diamétralement opposé an point fixe : l’angle a?OA varie proportionnellement au temps. En comptant le temps t à partir de l’instant où cet angle est nul, on a donc {fig. i6o)

xOPi. = Oit.

Soient G le centre de la circonférence, M le mobile ; nous déterminerons la position du mobile sur la circonférence par l’angle ACM = 6, qui va jouer

le rôle du paramètre q. En projetant le contour OGM sur les axes, on a Z = O et

a? = R cosw^ + R cos(0 + o)^), y = Rsinwi-f-Rsin(6 + üj^).

Donc, en appelant x\y\ 6' les dérivées de x^y^ 6 par rapport à t,

x' = — R CO sin co^ — R(6' + co) sin (6 + coif), y' = Rco cosco ^ -4- R(6'+ (o) cos(6 -h CO ^),

T (0'-4- Co)2+ 2 C0(6'+ co) COS0],

^ = COS 6), ^ = — 772 R2 CO ( 0' -i- CO ) sin0.

Comme il n’y a pas de forces données, on a

L’équation du mouvement (4) devient donc, toutes réductions faites,

df^

= — co2 sin 0.

En comparant cette équation à celle du mouvement d’un pendule simple

on voit 'que le mouvement relatif du point M, pour un observateur qui serait entraîné avec le cercle, sera le mouvement d’un pendule simple dans lequel le point A jouerait le rôle du point le plus bas. La durée d’une

double oscillation infiniment petite étant 2

ICI — : elle est

CO

donc précisément égale à la durée d’une révolution du cercle. La durée des oscillations finies sera plus grande.

Pour calculer la réaction normale N, partons des équations du mouve-