CHAPITRE XII. — MOUVEMENT D UN POINT SUR UNE COURBE, ment qui sont

m = — N cos(0 -I- w^), m = — N sin( 0 + oo dt^ dt^ ^

puisque le mobile est soumis à la seule force N. On en tire

oc d^ yc

—T— COS (6 + 0)^ ) H ^ sinfd -h M t)

dl^ dt^

N = — qu’on peut écrire

-4- /n(6'-i- co) sin(ô -+- CO ^) + ^ cos (6 -h co ^)j .

doc dy

En remplaçant dans cette formule et par leurs valeurs, on a N = m R[co2 cosO h- (6'+ co)2].

Cette expression dépend de 6’ : la réaction normale n’est donc pas la même lorsque le mobile repasse au même point du cercle en marchant dans un sens ou dans l’autre, car le signe de 0' n’est pas le même dans les deux cas.

Si le mobile était repoussé par O proportionnellement à la distance OM = r, la force répulsive étant fmr^ cette force dériverait de la fonction

de forces U = — j qui, exprimée en fonction de 0, devient

alors on aurait

U = 2 fni R2 cos^ - ;

Q = ^ = — /mR2 sin0,

et l’équation du mouvement garderait la forme de l’équation du mouvement d’un pendule simple dans laquelle serait égal à (cu^h- f).

261. Cas où la courbe est fixe. — Il va de soi que cette méthode, étant générale, s’appliquera au mouvement d’un point sur une courbe fixe. Il arrive alors qu’on peut choisir le paramètre q de telle façon que les expressions de JK, ^ en fonction de q ne contiennent pas explicitement

DYNAMIQUE DU POINT

croù

T est alors homogène et du second degré en : l’équation de Lagrange

dt \ dq'

doit être identique à celle que donne l’équation des forces vives, puisque, la courbe étant fixe, on obtient l’équation unique du mouvement en appliquant le théorème des forces vives. Il est facile de le vérifier. En elFet, en multipliant l’équation de Lagrange par cf ^ on a

dt dq' ^ dq

or, à cause de l’homogénéité de T, le produit est égal à 2 T,

et, de plus, on a, T dépendant de t par l’intermédiaire de q et q' seulement,

^ ^ dq’

dt ôq ^ dq' dt

L’équation s’écrit donc

d{iT)

ce qui est bien l’équation des forces vives.

EXERCICES

1. Un point matériel assujetti à se mouvoir sur un cercle est attiré ou repoussé par un point de ce cercle. Trouver quelle doit être la loi de la force pour que la réaction soit constante.

2. Deux points matériels de même masse A et B, assujettis à glisser sans frottement l’un sur l’axe O a;, l’autre sur l’axe O y, s’attirent suivant une loi quel-