CHAPITRE XII. — MOUVEMENT I)’UN POINT SUR UNE COURBE. 4j

conque exprimée par une fonction f{r) de leur distance mutuelle. Ils parlent sans vitesse initiale. Démontrer qu’ils atteignent en même temps l’origine O.

(Licence, Bordeaux.)

.3. Déterminer une courbe telle qu’un point pesant, assujetti à se mouvoir sans frottement sur cette courbe, y puisse prendre une vitesse dont la composante verticale ait une valeur constante donnée. (Licence, Paris.)

4. Un point matériel m, attaché à l’extrémité d’un fil sans masse enroulé sur une courbe plane G, est repoussé par le centre de courbure de G correspondant au point où se détache le fil, avec une intensité fonction de la distance du mobile au centre de courbure.

1“ Former les équations générales qui donnent la loi du mouvement et la tension du fil;

2° Dans l’hypothèse d’une répulsion proportionnelle à la simple distance, et le point m étant placé à l’origine sur la courbe G sans vitesse initiale, remarquer la forme remarquable de la loi du mouvement et de l’expression de la tension ;

3° Enfin, en supposant la répulsion inversement proportionnelle au carré de la distance, déterminer une courbe pour laquelle les lois précédentes (2“) subsistent. (Licence, Poitiers.)

5. On considère dans un plan vertical la courbe enveloppée par une droite de

longueur constante dont les extrémités glissent sur deux axes, l’un horizontal Ox, l’autre vertical O^. Etudier le mouvement d’un point pesant mobile sans frottement sur cette courbe. En particulier, calculer le temps que mettrait le mobile à atteindre le point de rebroussement situé sur Ox, s’il était lancé du point le plus bas avec une vitesse telle que la constante des forces vives soit nulle ( = ’^gz). ,

6. Déterminer une courbe plane dans un plan vertical, de telle sorte que, si un point matériel est assujetti à se mouvoir sur la courbe, la réaction de la courbe puisse être dans un rapport constant k avec la composante normale du poids

(Ar = I, droite ; /% = 2, cycloïde ; ...).

7. Un mobile pesant est abandonné sans vitesse sur la partie extérieure d’une parabole située dans un plan vertical et ayant son axe horizontal. Déterminer le point où le mobile quitte la parabole (point d’échappement).

En appelant h la hauteur de la position initiale au-dessus de l’axe, l’ordonnée jy du point cherché est la racine positive de l’équation

y^-\-'hp^y — "ip'^h = o (/? paramètre).

8. Si deux pendules partent à des instants différents, sur le même cercle G, d’une même position initiale avec la même vitesse, la droite qui les joint enveloppe un cercle G'. Supposons le mouvement révolutif, appelons T la durée de la révolution de chacun des pendules, t l’intervalle de temps qui a séparé les instants où les deux pendules se sont mis en mouvement : si t est commensurable avec T, les droites joignant les positions des deux pendules aux instants t, t + 'z, ^-+-2T, ty-Zt, ... forment un polygone inscrit à G et circonscrit à G'. (Get exercice n’est qu’une application de la méthode de Jacobi pour établir le théorème de Poncelet; voir Halphen, Traité des fonctions elliptiques.)

9. On considère des droites fixes passant par un point A et, à un certain instant t„, on abandonne au point A, sans vitesse initiale, sur toutes ces droites, des mobiles identiques attirés par un point fixe O proportionnellement à la distance : démontrer que ces mobiles arrivent en même temps aux points obtenus en projetant le point O sur les droites qu’ils parcourent,

10. Un point matériel est assujetti à rester sur une courbe définie par une équation de la forme

5^=Cp(^),

Z représentant l’ordonnée, s l’arc compté à partir d’un point de la courbe, cp une fonction quelconque.

On demande d’étudier le mouvement de ce point, en supposant :

1° Qu’il est soumis à l’action d’une force parallèle à l’ordonnée z et représentée en grandeur par l’expression

k désignant une constante donnée;

2° Qu’il éprouve, en outre, une résistance proportionnelle à la vitesse. Application au cas où

cp(^) = a^-’^z’^— a^= a”),

U désignant une longueur donnée.

On étudiera en particulier le cas où le mobile est posé sur la courbe sans vitesse initiale, et l’on déterminera le temps qu’il met pour atteindre l’origine des arcs correspondant k z = a. (Licence.)

Cas où n = 2.

11. Trouver la tautochrone plane pour un mobile attiré par un point fixe du plan proportionnellement à la distance /’ (n° 252).

[Il s’agit de trouver une coux’be pour laquelle r dr = ks ds. Considérant la courbe comme l’enveloppe d’une droite mobile

X cos a — y sin a = tp' ( a ),

on trouve, pour déterminer la fonction tp(a), l’équation (i — AQ <p"(a) — A- cp(a) =0,

linéaire à coefficients constants. Cette équation s’intégre avec des lignes trigonométriques ou des exponentielles; dans le piemier cas, on a une épicycloïde (PuisEUX, Journal de Liouville, t. IX).]

12. Problème d’Abel. — Déterminer une courbe située dans un plan vertical possédant la propriété suivante : Il existe sur cette courbe un point fixe O, tel qu’un mobile pesant abandonné sans vitesse initiale le long de la courbe, dans une position initiale située à une hauteur h au-dessus de O, arrive au point O dans un temps T qui soit une fonction de h donnée à l’avance T == tp(/x).

[Soit 5 = ([1(2) la relation entre l’arc OM de courbe compté à partir de O et l’ordonnée de M ; on a