CHAPITRE XII. — MOUVEMENT d’uN POINT SUR UNE COURBE
Soit U une variable réelle plus grande que h. Abel multiplie les deux membres.
Intervertissant Tordre des intégrations dans le deuxième membre, on trouve pour l’intégrale du deuxième membre La fonction cherchée est alors
exprimée par une intégrale définie où figure la fonction donnée cp. Par exemple, si cp(/i) =: const., on retrouve ainsi la cycloïde.]
^ 13. Déterminer la courbe tautochrone pour un point pesant dans un plan ver-
tical, en tenant compte du frottement et d’une résistance de milieu proportionnelle à (On est conduit à une équation linéaire en v^).
14. Problème d'Euler et de Saladini. — Quelle courbe faut-il tracer dansun plan vertical, à partir d’un point O, pour qu’un mobile pesant abandonné sur cette courbe en O, sans vitesse, arrive en un point quelconque M de cette courbe dans le même temps que s’il avait été assujetti à glisser sur la corde OM? (On trouve une lemniscate, Euler, t. II de sa Mécanique, 1786; Saladini, Mémoires de VJstituto nazionale italiano, i8o4; coir une Note de M. Fouret, Bulletin de la Société mathématique, t. XX, p. 89.)
15. Problème de Bonnet. — Démontrer que la lemniscate trouvée dans l’exercice précédent possède encore la même propriété quand on remplace la pesanteur par une attraction issue du point O proportionnelle à la distance {Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. IX, p. 116).
16. Problème de M. Fouret. — 1“ Un point matériel soumis dans un plan à une force dérivant d’une fonction de forces déterminée part d’une origine O avec une vitesse donnée. Trouver un système de courbes (G) passant par O et homothétiques, telles qu’un mobile assujetti à se mouvoir sur une quelconque de cescourbes décrive, à partir du point O, un arc quelconque dans le même tempsqu’il mettrait à décrire la corde correspondante.
2“ Etant donné, dans un plan, un système de courbes (G) passant par un point O et homothétiques par rapport à ce point, trouver une force dérivant d’une fonction de forces, sous l’action de laquelle un mobile ayant une vitesse initiale donnée parcourt, à partir du point O, un arc quelconque d’une quelconque des courbes G, clans le même temps qu’il lui faudrait pour parcourir la corde correspondante.
Le premier de ces problèmes n’a de solution qu’autant que la vitesse initiale est nulle et que la fonction des forces a, en coordonnées polaires, la forme
par = et intègre par rapport à /i de o à m : q U — h
courbe cherchée G est alors
k désignant une constante arbitraire.
Le second problème n’est également possible que si la vitesse initiale est nulle. L’équation de la courbe étant /’ = A-cî(6), la fonction de forces s’obtient en fai-
DYNAMIQUE DU POINT
saut clans Texpi'ession ci-dessus, où est une fonction ai'bitraire,
cp ( fj ) =r rr; ( 6 ) e
rSm'
un
(Fouret, Comptes rendus, t. GUI, p. iii4 et 1174. et Journal de l’École Polytechnique, 56° Cahier).
17. Courbes et surfaces synchrones. — Soient dans un plan une infinité de
courbes G dont l’équation dépend d'un paramètre et qui passent par un point O; on lance sur toutes ces courbes, à partir de O, au même instant t — 0, des points matériels identiques, avec une vitesse donnée même pour tous, et on les
soumet à des forces dérivant d’une fonction de forces données; trouver la courbe (S) lieu géométrique des positions de tous ccs points au même instant t.
Ges courbes (S) forment une famille de courbes dépendant du paramètre i;on les appelle courbes synchrones des premières.
Si les courbes (G) passant par un même point O sont situées dans l’espace et dépendent de deux paramètres, en lançant sur ces courbes, à l’instant t = 0, avec une vitesse des points matériels soumis à des forces dérivant d’un potentiel donné, le lieu géométrique de ces points à l’instant t est une surface (S) appelée surface synchrone.
18. Exemples de courbes synchrones. — [La vitesse p„ est supposée nulle; la force est la pesanteur; les lignes G sont des droites passant par l’origine dans un plan vertical (les lignes S sont des cercles). [Euler.]
La force est la pesanteur et les courbes G sont des C3'cloïdes de base horizontale ayant leur rebroussement en O et situées dans un plan vertical. [Les courbes synchrones S sont orthogonales aux c^xloïdes; cela tient ( n° 25G) à ce que les C}xloïdes G sont les brachistochrones pour la loi de force considérée.] (Euler.)
La force est une attraction proportionnelle à la distance issue de l’origine O, et les courbes G sont les cercles x'^-y y"^ — 207/ = o, où a est un paramètre variable (les courbes synchrones S sont des droites passant par l’origine). (Legoux, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. VL)
19. Étant données dans un plan deux familles de lignes (A) et (G), qui toutes passent par un point O, peut-on trouver une force F, dérivant d’un potentiel U et telle que, sous son action, un mobile partant du point O avec une vitesse déterminée et suivant l’une quelconque des lignes (G) arrive en un point quelconque M de cette ligne dans le même temps que s’il avait suivi celle des lignes (A) qui passe en M?
On peut désigner les lignes (A) sous le nom de trajectoires et les lignes (G) sous celui de lignes synodales ; il est d’ailleurs évident que leurs rôles peuvent être intervertis. Le problème peut toujours être résolu d’une infinité de manièi’es. Le problème de M. Fouret se rapporte au cas où les trajectoires sont rectilignes et les lignes synodales homothétiques par rapport au point O (de Saint-Germain, Bulletin des Sciences mathématiques, 1889).
20. Démontrer la relation suivante qui existe entre les trajectoires, les lignes synchrones et les synodales : soient MA, MB, MG les tangentes respectives menées dans le sens du mouvement, à celles de ces lignes qui se coupent en M.
CHAPITRIî XII.
