I. — GÉNÉRALITÉS
262. Équations du mouvement. — Soit une surface S qui peut changer de position et même de forme avec le temps, et soit
Féquation de cette surface en coordonnées reclangulaires. Dans le cas particulier où la surface est fixe, cette équation ne contient pas le temps t. Un point matériel M de coordonnées y, .3 est assujetti à glisser sans frottement sur cette surface et est soumis à Faction de forces données dont la résultante F a pour projections X, Y, Z. Il s’agit de trouver le mouvement du point. La surface exercera sur le point une réaction normale IS ayant pour projections des quantités de la forme
Æ, xf, x%.
ox oy oz
Le point pourra alors être regardé comme libre sous Faction des deux forces F et N, et les équations du mouvement seront
. (Px
df d'^y df d^z
ti’ =
Ces équations, jointes à Féquation (i) de la surface, forment un système de quatre équations définissant x, y^zelA en fonction de t.
Pour obtenir les équations donnant x, y, ^ en fonction de il faudra éliminer X entre ces équations (2), ce qui donne deux
CHAPITRIï XIII. — MOUVEMENT d’un POINT SUR UNE SURFACE. 4^1
équations. Une fois le mouvement connu, la valeur de \ et, par suite, la grandeur de la réaction normale seront fournies par une quelconque des équations (2) ou par une combinaison de ces équations.
263. Équations de Lagrange. — La méthode de Lagrange que nous allons exposer est identique à celle qui a été employée pour le mouvement d’un point sur une courbe (n° 259). On peut toujours exprimér les coordonnées d’un point de la surface S et, en particulier, celles du mobile M en fonction de deux paramètres et Ç2 :
(3) a; = o{qi,q2, t), y = ^{qi^ q^, t), z = -G5{q,, q^, t).
Ces expressions seront telles qu’en éliminant entre elles q^ et ^27 on retrouve l’équation (i) de la surface. Elles contiennent explicitement le temps t qui figure dans l’équation (i) ; dans le cas particulier où la surface S serait fixe, l’équation (i) ne contenant pas on pourrait s’arranger de façon que les expressions (3) de z
ne contiennent pas explicitement t.
Pour connaître le mouvement du mobile, il suffit de connaître en fonction de t les paramètres qui servent à déterminer la
position du mobile. Il faut, pour trouver q^ et q^^ deux équations qu’on obtient comme il suit : ajoutons les équations (2) après les
avoir multipliées respectivement par nous aurons
/ d'^x dx y dy
dP àqi dp
àq\
~dF
où
ày
dz
^ àqi
àq\
A disparaît dans cette combinaison en vertu de la relation
df dx df dy df àz
dx dqi dy dq^ dz dq^ ’
qui exprime que la normale à la surface est normale à la courbe que décrirait le point (3), si, laissant q^ et t constants, on faisait A. - I. 3i
seulement varier courbe située sur la surface S. En multipliant les équations du mouvement (2) par ^ et les ajou-
tant, on obtient de même une seconde équation
f (P- æ dx (P y dy P z
V dP dq-i dp dq=i dP-
àq^
àqt
d"^ Z dz àq^
dz
àq%
Ce sont ces deux équations (4) et (4^) qni définissent et en fonction de t. On peut les écrire sous une forme beaucoup plus simple. Appelons et q,^ les dérivées de q^ et q^ par rapport au temps, et .2?', y\ z' les projections de la vitesse du mobile
dx dy dz r , , . , , v
~dl ^ ~âi ’ équation (4) peut s'ecrire
i d \ ( , àx , dy , és XI
j dt I dq^ ^ ^ dq^'^" dqj\
V , d / dx \ , d f dy\
diWJ
dt
= Qi;
car on a évidemment
/ , dx\
1 7-jo
dx
dt '
\àqj
dqC
Or, d’après la formule (3), x dépend de t directement et par l’intermédiaire de et q2, qui sont fonctions de t', donc
dx
dqs
dx
dx
dq^^^ dt
De même ^ dépend de t directement et par l’intermédiaire de q\ et ^2? donc
d / dx\ d'^x , d’^x , d'^x dt\dqx) dq\^^~^ dqxdq2^‘^~^ dq^dt
Dans l’expression (6), considérons x' comme une fonction des lettres q\^ q^i q\i q'21 Nous aurons immédiatement
dx' dx dx' d^x J d'^x , d^x
dq'i dqi ’ dq^ dq\ dq^ dq^ dqi dt’
