CHAPITRE XIII. — MOUVEMENT d’uN POINT SUR UNE SURFACE
c’est-à-dire
dx' dx dx' cl / ôx
dq\ dqi dq^ dt\dq\
Un calcul analogue donnerait
ày'
dq\
- , àqi'
àqx
~ dt '
\àqx)
^dz'
dz
dz'
i dz \
dq\
~ àq^'
àqx ~
~ dt '
\àqx J
Remplaçant dans l’équation du mouvement (5) les quantités
dx dy dz d / dx \ d / dy \ d / dz \
dqi’ dqi’ dq^ dt\dqxl'’ dt\dq^) dt\dqi)
par leurs valeurs tirées des formules ci-dessus, on a l’équation
ou, en posant
dt \dq\
On trouverait de mêm
ii)
e, en transformant l’équation (40>
dt \dq'^
dT
àq^i
Ces équations (-ÿ) et (7') sont les équations du mouvement d’après Lagrange. Pour les écrire, il suffit de former la quantité T égale à la demi-force vive du point : dans cette quantité T, on remplace y\ par leurs valeurs telles que (6), de façon
à exprimer T en q\-, q'.^ et t] puis on écrit les équations du
mouvement (7) et (7').
Dans ces équations, les seconds membres Q^ et Q2 ont été calculés plus haut. On peut les caractériser de la façon suivante : imprimons au point M un déplacement virtuel qui s’effectue sur la surface S, c’est-à-dire qui est obtenu en laissant t constant et faisant varier q^ et q^ de }>q^ et 8^2- Nous aurons pour les projec-
lions de ce déplacement virtuel sur les trois axes
rv dx ^ dx ^
- h' ’S ày ^
^ ^ dz ^
d’où, pour l’expression du travail virtuel correspondant de F, X 8a? H- Y 8/ + Z 0.S = Qi oqx H- Q-2 8^21
d’après les expressions de Q, et Qo. Ainsi, pour avoir les seconds membres Q, et Qo, il suffît de prendre les coefficients de ùq^ et 8^2 dans l’expression du travail virtuel de F, pour un déplacement arbitraire effectué sur la surface S, dans la position qu’elle occupe à l’instant t.
Pour obtenir en particulier Q^, on imprimera au point un déplacement virtuel obtenu en laissant t et constants et faisant varier seulement q^ de 8^, ; le travail virtuel correspondant de la force F sera Q^ 8^,. De même, pour avoir Qo, on considérera un déplacement virtuel obtenu en laissant t et q^ constants; le travail de F sera Q2 8^2-
S’il existe une fonction de forces U(^, y, ^), ou plus généralement, si X, Y, Z sont les dérivées partielles d’une fonction U(:r, y, 3, Q contenant le temps, on a
dq.
En effet, \] t) dépend de q^ et q.^ par l’intermédiaire de X, y^ z \ on a donc
dqy dx àqi dy dq^ dz dq^ àq\ àq^ dqi
de même pour Q2.
264. Applications. — i" Mouvement d’un point dans un plan fixe en coordonnées polaires. — Cherchons le mouvement d’un point dans le plan xOy en prenant comme paramètres qy et q^ les deux coordonnées
