CHAPITRE XIII. — MOUVEMENT d’uN POINT SUR UNE SURFACE
et /’ par rapport aux axes O^, OR, ^jouant le rôle de q\ et /’ de q^. Les formules de transformation seront alors
x — x, j^ = /’cosw^, z = rsinw^;
la fonetion T qui entre dans notre formule sera
II y a une fonction de forces
U = — mg-z = — mgi' sinoj
On a donc
dx'
dx
dx dr
dU . ^
— = — mg sin w i',
= mco2/-,
et les équations du mouvement sont dx’
d‘^ r dt^
de-
— /' == — g sin w ^ .
La première de ces équations montre que la projection Q sur Taxe des x se déplace d’un mouvement uniforme. La seconde, étant linéaire à coefficients constants, peut s’intégrer et a pour intégrale générale
/' = ^sinw^.
Pour avoir l’équation de la projection de la trajectoire sur le plan des il nous suffit dans cette relation de remplacer par 6, ce qui nous donne
r = A e® -1- B e~^ n — ^ sin 6.
Un cas particulier intéressant est celui où les conditions initiales sont telles que A et B soient nuis; il suffit pour cela que le mobile soit lancé de l’axe de rotation de façon que sa projection sur la droite R ait une vitesse
initiale égale à - — • La projection delà trajectoire sur le plan des a
alors pour équation
c’est un cercle tangent en O à l’axe Oy. La trajectoire est une hélice.
Pour calculer la réaction normale, reportons-nous à l’une des équations du mouvement
m —fÇ = X sin ‘ dt^
nous avons, en remplaçant y par /’cosw^,
(d'^r dr . „ \ ^ •
m ( — r— cos CO ^ — 2C0 — sin co^ — co^ /' cos o) Z = A sincu \ /
ou, si l’on se rappelle l’équation qui définit r.
df^
= co2 /' — g smco^.
A = — mg cos CO ^ — 2 m (
dt
Cette formule, dans laquelle on remplace r par sa valeur en t, donne en fonction de t l’expression de la réaction normale, qui, dans le cas actuel, est précisément égaie à A.
