CHAPITRE XIII. — MOUVEMENT I)’üN POINT SUR UNE SURFACE
Si la surface était mobile, la réaction normalé ne serait pas éliminée par l’application du théorème des forces vives, car le déplacement réel dx^ dy^ dz du mobile ne serait pas normal à la réaction normale; en effet, la sui^face à l’instant t est en S et le point en M sur S; à l’instant t-\-dt, elle est en S' et le point en M' sur S'; le déplacement MM' n’est done pas normal à la réaction N.
Revenons au cas ou la surface est fixe : l’équation des forces vives donne immédiatement une intégrale première s’il y a une fonction de forces \J(x^y^ z)
11 peut encore se faire que IL dx -y Y dy Z dz^ n’étant pas une différentielle totale exacte, le devienne en vertu de la relation f{x^y^z) — 0] si, par exemple, un point de la surface est défini par les deux paramètres et ^25 on aura
et la quantité ~Ydx y-Y dy -yZdz prendra la forme Qj dq^ -fquand on aura remplacé X, Y, Z, x^y^ z par leurs valeurs en fonction de q^ et ^o. Si alors l’expression Q, dq^ -f- est la dif-
férentielle totale exacte d’une fonction U(^i, q^), on aura l’intégrale des forces vives
—y = qy + h,
ou encore
car T est précisément la demi-force vive.
On remplacera l’une des équations de Lagrange, la plus compliquée des deux, par cette dernière équation, et l’on aura ainsi les deux équations définissant q^ et q^ en fonction de t.
Exemple. — Mouvement d'un point, mobile sur un hélicoïde gauche à plan directeur, attiré ou repoussé par Vaxe proportionnellement à la distance {Jig. i63).
Soient r et 6 les eoordonnées polaires d’un point M de Fliélicoïde, situé sur la génératrice CD; on a pour les coordonnées cartésiennes de ce point
37 = /- cos 6, j/- = /’sin6, = A'6.
Fig. i63.
La force qui agit sur le point est F = m\u', dirigée suivant CD. On sait que dans ce cas il y a une fonction de forces
En définissant un point de la surface par les paramètres ?' et 0, qui remplacent qi et nous aurons
Les équations du mouvement seront par suite, d’après Lagrange,
la deuxième de ces équations montre que
Au lieu de nous servir de la première, nous emploierons l’intégrale des forces vives
u'2-i- (r2-h Â:2)6’2. jjtr2= h.
En éliminant 6’ entre ces deux équations, on aura l’équation du mouvement sur le rayon vecteur
(/i+ pr2)(^2 + ;t2) — G2.
