CHAPITRE XIII. — MOUVEMENT u’üN POINT SUR UNE SURFACE
On exprime donc t en fonction de r par une quadrature. On trouvera de même que 6 s’exprime par une autre quadrature en fonction de r; il suffit pour cela de remplacer, dans la dernière équation, dt par sa valeur
Pour discuter la forme de la courbe, il faut distinguer deux cas, selon que IX est positif ou négatif (répulsion ou attraction) : si [x est positif, on voit que la courbe peut avoir des branches infinies, puisque, lorsque r
^ ne cesse pas d’être positif; au contraire, si [jl est
négatif, r ne pourra pas croître au delà de certaines limites. Dans le cas particulier de p. = o, le point se déplace sur la surface sans force directement appliquée; t s’exprime alors en fonction de r par une quadrature elliptique. Dans ce cas particulier le point décrit, comme nous le verrons plus loin (n” 270), une ligne géodésique de l’hélicoïde.
croît indéfiniment,
dt
266. Équation des forces vives déduite des équations de Lagrange. — La surface étant fixe, les expressions de z en
fonction de et Ç2 peuvent être ehoisies de façon à ne pas con-
tenir explieitement t. La fonction T est alors homogène et du second degré en et 77!,, et le théorème des fonctions homogènes donne l’identité
dT , dT
Gela posé, prenons les deux équations de Lagrange
/dT\
dt '
WJ
dt '
et ajoutons-les après avoir multiplié la première par q\, la deuxième par q[^. Nous aurons une équation qui peut s’écrire
d / , dT , dT \ dt àq\ dq'^ )
/ dT dq\ dT dq:^
\dq\ dt dq'^ dt
dT
dT
La première parenthèse égale 2T; la deuxième est égale à —, car T dépend de t par l’intermédiaire de q\, q‘^, 77,, q.,. L’équa-
lion ci-des5iis s’écrit donc
â?(2T) dT dt dt
OU, en multipliant par dt^
dli =zÇl^dq^-^ Q2 dq^__^
ce qui est l’équation des forces vives, car Q, dq^ 4- Qo est le travail élémentaire de la force (X, Y, Z). Si O, dq^ + Qo dq^ est une dilférentielle totale exacte d’une fonction U(^<, q^)-, on a l’intégrale des forces vives
qui remplacera l’une des équations, de Lagrange.
267. Stabilité de l’équilibre dans le cas où la fonction U existe.
— D’après ce que nous avons vu en Statique, pour obtenir les valeurs de q^ et q^ fournissant les positions d’équilibre du mobile, il suffit d’écrire les deux équations Qi = o, Q2=o. Dans le cas particulier où Q, dq^-\- Q2 est la différentielle d’une fonction ^(^0^2)5 les équations d’équilibre sont identiques à celles qu’il faudrait écrire pour chercher le maximum ou le minimum de U(3’, ,</.)•
Nous voulons démontrer, d’après Lejeune-Dirichlet, que, si pour un certain système de valeurs = <2,, q<^= a-^ la fonction U est maximum, l’équilibre correspondant est stable. La démonstration est identique à celle qui a été donnée (n'’ 208) pour un point libre. Indlquons-la en peu de mots. On peut toujours supposer que le maximum ait lieu pour q,^ = q^ — o, car cela revient à prendre pour nouveaux paramètres — <2, et q-i — «27 que ce maximum U(o, o) soit nul, car cela revient à retrancher de U(^i,</2) une certaine constante, ce qui est permis, car cette fonction n’est définie qu’à une constante près. D’après la définition du maximum, la fonction CJ est alors négative et différente du zéro dans le voisinage de la position d’équilibre considérée P. Traçons sur la surface une petite courbe fermée G entourant P; sur cette courbe, U est négative et non nulle : il existe donc un nombre positif p tel que sur cette courbe \] + p soit négative.
