CHAPITRE XIII. — MOUVEMENT d’uN POINT SUR UNE SURFACE

Déplaçons alors le mobile de la position d’équilibre P dans une position voisine Mq, située à l’intérieur de G, où U prend la valeur Uq, et imprimons-lui une vitesse Uq ; on aura

choisissons la position initiale et la vitesse initiale de façon à remplir les deux conditions

-Uo<

ce qui, à cause de la continuité, exige uniquement que Uq et la distance PMq soient inférieures à certaines limites. Dans ces conditions le mobile ne sortira pas de la courbe C et même n’alleindra pas cette courbe, car l’équation des forces vives donne

<U-hJ2

et U -i- yU devient négatif sur la courbe limite C.

268. Réaction normale. — Une fois le mouvement connu, pour avoir la réaction, il suffira de tirer \ d’une quelconque des équations (2) du mouvement (n° 262). Supposons que le mobile soit seulement posé sur la surface, c’est-à-dire qu’il puisse la quitter d’un certain côté. Pour que le point reste sui’ la surface, il faut que la réaction N soit dirigée du côté où le point peut s’éloigner. D’un côté de la surface f{x^y^z) est positif, de l’autre côté il est négatif; pour que la réaction soit, par exemple, dirigée vers la région des f positifs, il faut que \ soit positif, comme nous l’avons vu en Statique à propos de l’équilibre d’un point sur une surface. Si \ s’annule à un certain moment et change de signe, le point quitte la surface et l’on est ramené au cas d’un point libre.

269. Équations intrinsèques et réaction normale. — Sur la trajectoire, nous marquerons une origine des arcs A(Jig. 164). Soit M une position quelconque du mobile, menons en ce point la tangente MT dans le sens des arcs croissants; soient G le centre de

/l9i TROISIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE DU POINT.

courbure de la section normale tangente à MT, R son rayon de courbure MC, nous prendrons pour sens positif sur Ja normale le sens MC. Soient de même MC' la normale principale de la tra-

Fig. 164.

jectoire et p — MC' son rayon de courbure ; désignons par 8 l’angle du plan osculateur TMC' à la trajectoire avec la normale à la surface, nous aurons, d’après le théorème de Meusnier,

P R cosO.

En projetant la direction MC' sur le plan tangent, nous obtenons une demi-droite MP sur laquelle nous considérons le sens de la projection du segment MC' comme sens positif. Soient alors Ff, F„, Fjf, les projections de la force F sur les droites MT, MC, MP, et N la valeur algébrique de la réaction normale; on sait que la

résultante des forces F et N se décompose en deux. Tune

suivant MT, l’autre dirigée suivant MC'; ce système de deux

forces est par suite équivalent au système formé par F et N. On aura donc, en égalant les sommes des projections des forces de chacun de ces systèmes sur les axes MT, MP, MC,

dv

cos 6 = Ffi-h N.

Ces équations peuvent prendre une forme plus simple; désignons par pg- le rayon de courbure géodésique et tenons

compte de la relation trouvée plus haut — R : les équations