CHAPITRE XIII. — MOUVEMENT d’uN POINT SUR UNE SURFACE
précédenles deviendront
dv
m — = r dt
S’il y a line fonetion des forces, on a = U + /z, et la dernière
formule permet de calculer la réaction normale sans clierclier le mouvement, à condition que l’on connaisse R.
De ces équations on peut tirer une conséquence intéressante. Déformons la surface de façon que les longueurs des lignes tracées sur cette surface ne changent pas; dans cette transformation les rayons de courbure géodésique ne varient pas; si donc on modifie la force F de façon que sa projection sur le plan tangent reste la même, les deux premières des équations ci-dessus qui définissent le mouvement n’auront pas changé, et le mouvement sera le même que dans le premier cas. La réaction normale seule changera. On voit ainsi que la trajectoire d’un point pesant, assujetti à se mouvoir sur un cylindre vertical, s’obtient en enroulant sur ce cylindre une parabole d’axe vertical. De même la trajectoire d’un point pesant sur un cône de révolution d’axe vertical provient de l’enroulement sur ce cône de la trajectoire plane d’un mobile soumis à une force centrale constante.
270. Lignes géodésiques. — Le cas le plus simple est celui où le mobile lancé sur la surface fixe n’est sollicité par aucune
force. L’équation des forces vives devient alors o?^^ = o; elle
montre que la vitesse est constante. La trajectoire du mobile est une ligne géodésique de la surface, puisque son plan oscillateur doit contenir la seule force qui agisse sur le mobile : la réaction normale; cela résulte d’ailleurs de la deuxième des équations
intrinsèques, qui devient = o, d’où l’on déduit^ = o, puisque
V est constant, et cette condition -î- = o caractérise les lignes géodésiques. La dernière équation intrinsèque permettra de calculer la réaction normale IN = On peut remarquer que
dans le cas actuel on a 9 = o, donc R = p et la réaction normale
a pour valeur elle varie en raison inverse du ravon de coiir-
bure de la trajectoire.
Les équations générales du mouvement se réduisent alors à
dt^ ~ dx' dr- “ O7 ’
à l’aide de l’équation ds = v^dt on éliminera le temps; il suffira pour cela de remplacer dans les formules précédentes dt- par
Remarque , — Si la surface admet des génératrices rectilignes, on devra les trouver comme trajectoires particulières, car, si un mobile est lancé suivant Tune de ces génératrices, il la décrira de lui-même en vertu du principe de l’inertie, et la réaction de la surface sera nulle.
Exemple. — Lignes géodésiques de l'ellipsoïde. — Appliquons ce qui précède à l’ellipsoïde
nous écrivons les dénominateurs a., c pour que le même calcul donne, suivant les signes de è, c, les lignes géodésiques d’un ellipsoïde ou d’un hyperboloïde.
Les équations du mouvement peuvent s’écrire
dt-
On a, comme toujours, l’intégrale première v= Cq- Pour en trouver une seeonde, nous emploierons une méthode due à M. Darboux. Différentions deux fois de suite l’équation (1); nous obtenons
X d^x r d-y Z d'^ Z 1 f dx\^ i f dy\^ i / dzV^
a dt- b dt- ' c dt- a\dt)^b\dt)~^c\dt)
et, en vertu des équations (2),
multiplions maintenant les
équations (2) respectivement
par
dx I dy dt^ b dt
