CHAPITRE XIII, — MOUVEMENT d’uN POINT SUR UNE SURFACE

\ dz . ,

- —1 et ajoutons; nous obtenons

( X dx y , Z dz\ \ dx d"^ X ^ dy d'^y i dz (P- z (4) (if ‘ b- dt c'^ dt ) a dt dt'^ ^ b dt dV^ c dt dV^-

Si nous divisons membre à membre les équations (3) et (4), nous aurons

X dx y dy z dz

a‘'~ dt b"*- dt c- dt

I dx d‘X I dy d‘^y i dz d^ z a dt dt^ ^ b dt dt'^ ^ c dt dt‘^- ^

chacun des numérateurs est, à une constante près, la dérivée du dénominateur; on pourra donc intégrer cette équation et l’on aura

on éliminera le temps à l’aide de l’équation des forces vives ^ = Co? ce qui donne

,32 \ r I / 2 J / dy \ 2

)\a\ds J b \ds ) c\ds ) \~

const. ;

telle est l’équation différentielle des lignes géodésiques de l’ellipsoïde. Une interprétation géométrique simple de celte équation nous donnera un théorème dû à Joachimstal : si p est la distance du centre de l’ellipsoïde au plan tangent en un point M d’une ligne géodésique, D la longueur du demi-diamètre parallèle à la tangente menée en M à cette ligne, le produit/?D est constant tout le long de cette ligne géodésique. Les cosinus

directeurs de la tangente en M étant, en effet, les coordon-

ds ds ds

nées de l’extrémité du demi-diamètre parallèle seront

on écrivant que ce point appartient à l’ellipsoïde, on aura

1 __ \ / dx\^ \ / dy"Ÿ f y .

D2 a\ds J b \yls ) ^ c\ds ) ’

îe plan tangent en M ayant pour équation

\x ^ Yy T^z I Q

icj8 TROISIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE DU POINT,

sa distance à l’origine sera donnée par

p% ^2 ^2 Qi

et, en vertu de l’équation (5), on aura bien

P D = const.

Ce théorème s’applique aussi aux lignes de courbure de l’ellipsoïde nous verrons, en effet, plus tard, que ces lignes correspondent aux solutions singulières de l’équation (5). (Darboux, Mécanique de Despey- J'OUS, t. I. )

Pour achever l’intégration, on exprime les coordonnées x, jk, z d’un, point de l’ellipsoïde au moyen de ses coordonnées elliptiques 9^2 • les variables ^1, se séparent et l’intégration est ramenée à des quadratures. Nous reviendrons sur ce point comme application des méthodes d’intégration de Jacobi (Ghap. XVI).

271. Emploi des équations de Lagrange. — Ordinairement, pour trouver les géodésiques, il est préférable d’opérer eomme il suit,, en employant les équations de Lagrange. Soient

les expressions des eoordonnées d’un point de la surface en fonction de deux paramètres; 011 a pour le carré de l’élément linéaire d’une courbe quelconque tracée sur la surface

ds°^ = dx‘^-\- dy^-\- dz-= andq\-{- lai^dq^dq^^-^ a=i^^dq\.

Si, pour simplilier, nous supposons la masse du mobile égale à I, nous aurons

1 ds^ I

T = - ^ = -(«ll^?-l-2ai2^W2-+-«229’20

et les deux équations du mouvement seront

( dT \

Kàq\)

dt ^

\àq%)

L’une de ces équations, la plus compliquée des deux, sera remplacée ensuite par l’intégrale des forces vives T = h

-{aiiq'^-h 0,ai2q[ q'^ -h CL^^q'i ) =