CHAPITRE XIII. — MOUVEMENT d’UN POINT SUR UNE SURFACE

On a ainsi deux équations, l’une du second ordre, l’autre du premier, définissant en fonction de t.

Exemple. — Une surface est telle que, en choisissant convenablenient les coordonnées curvilignes qui définissent ses différents points, on peut ramener V élément linéaire ds à être donné par la formule

ds'^ = u{ du- -4- dv- ).

On demande V équation en termes finis des lignes géodésiques. Quelle est la représentation de ces lignes lorsqiCon fait la carte de la surface en faisant correspondre, au point de coordonnées u et v, le point d’un plan dont les coordonnées rectangulaires ont les mêmes valeurs?

(Licence, Paris, 1887.)

1 ^ du dv

En appelant u et v les denvees supposant la masse du

point mobile égale à l’unité, on a

T = lu(u'^-^v'^-),

et les équations de Lagrange donnent immédiatement, puisqu’il n’y a pas de forces directement appliquées.

—riuu ) u- V

dt^ ^ 2 2

Nous connaissons d’abord une intégrale première de ces équations, l’intégrale des forces vives T = h, ou

u ( du‘^ dv^\

la seconde des équations (i) donne une autre intégrale première

Éliminons dt entre ces deux équations et posons — = 2a; nous obtenons pour l’équation différentielle des lignes géodésiques

, /- du

dv — f a——==z, y u — a

d’où, en intégrant et désignant par b une autre constante arbitraire,

5oo

DYNAMIQUE DU POINT

C’est là l’équation en termes finis des lignes géodésiques demandées. Si l’on regarde m et u comme les coordonnées rectangulaires d’un point d’un plan, ces courbes sont des paraboles quelconques ayant pour directrice l’axe des u. La surface dont nous venons de déterminer les lignes géodésiques est applicable sur une surface de révolution. {Voir Darboux, Théorie générale des surfaces, 3® Partie, Ghap. II.)

272. Oscillations infiniment petites d’un point pesant autour du point le plus bas d’une surface. — Considérons sur une surface un point O où le plan tangent est horizontal, la surface étant située au-dessus du plan tangent, dans le voisinage du point O. Cette position O est une position d’équilibre stable ]>our un point pesant mobile sans frottement sur la surface. Nous allons, étudier les oscillations infiniment petites autour de cette position d’équilibre. Prenons le point O pour origine, un axe 0^ A^ertical vers le haut et deux axes Occ et Oy tangents aux lignes de courbure qui passent par O. Si l’on suppose le .s de la surface développé en série par la formule de Maclaurin pour de petites valeurs de x et jk, on a, pour l’équation de la surface.

les termes composant (^{x^y') étant du troisième ordre au moins en a? et j', P et q désignant les deux rayons de courbure principaux de la surface en O. Le point matériel étant pesant, il y a une fonction de force

que nous écrivons en supposant m = r. La fonction T de Lagrange est

Dans les petites oscillations autour de la position d’équilibre considérée, X et y restent très petits; les composantes x' et y' de la AÛtesse restent aussi très petites; car la vitesse elle-même reste très petite, comme nous l’avons vu (n" 267). Nous considérerons ces quantités x^ y, x\ y' comme du même ordre. Dans l’expression de T, il y a alors deux termes du second ordre et un troisième terme z'^ du quatrième. Nous le négligerons vis-à-vis des premiers et nous aurons

où

P q ox dy"^

xx' yy' do , do

Si dans U on remplace ,s par sa valeur, le développement de U commence de même par deux termes du second ordre que nous conserverons