CHAPITRE Xlil. — MOUVEMENT d’UN POINT SUR UNE SURFACE

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seuls en négligeant les suivants, ce qui donne

2/? iq

Les équations de Lagrange appliquées aux. variables x et regardées comme jouant le rôle des paramétres q\ et q%^

/dT\

âT

dV

dt '

[dx' J

dx

dx ^

(âT\

dT

dV

dt '

[ày')

àf

- dy^

deviennent, puisque T ne contient ni x ni ju,

cP- X g

dp ~

équations qui s’intégrent immédiatement et donnent

X — K cos

J' = B cos I t

A, B, a, P» étant des constantes arbitraires qu’on déterminera par les conditions initiales. On a ainsi les oscillations infiniment petites. La coor-

donnée X redevient la même au bout du temps 2tc

et y au bout du

temps 27T

Si ces deux périodes sont commensurables entre elles, la

trajectoire en projection horizontale est une courbe algébrique obtenue en éliminant t entre les équations (i). La trajectoire est transcendante si les deux périodes sont incommensurables ; dans ce cas, le mouvement présente une particularité curieuse. Considérons dans le plan des x,y le rectangle formé par les droites x—±X.^ y = ±'B. La courbe définie par les équations (i) touche une infinité de fois les côtés du rectangle : ainsi.

elle touche le côté x = A {fig. i65) pour toutes les valeurs de t de forme

( k entier).

la

De plus, la trajectoire finit par recouvrir en quelque sorte toute l’aire du rectangle. C’est ce que nous démontrerons en prouvant que, étant choisi arhitrairement un point A de coordonnées^, Tj dans le rectangle, il existe une infinité de valeurs de t pour lesquelles le mobile passe à une distance de P moindre que toute quantité donnée. Soient, en eftet, et u. des arcs définis par les formules

. ^ = A cos(X 4- a), = B cos( [JL 4- P) ;

si l’on donne à t une valeur de la forme

‘ikr.) (/r entier),

l’abscisse x du mobile est égale à son ordonnée jk a pour valeur

y z= B cos

( X 4- 2 X- TT ) 4- 2 /r' 7Ï 4- ;

k' désignant un entier arbitraire. Par bvpothèse, 4/ — est un nombre

incommensurable : on peut donc déterminer les entiers k et k' de telle façon que

(X 4- 2Xtt) ‘ik'-TZ

diffère aussi peu qu’on le veut d’une quantité donnée et, en particulier, de p. Pour les valeurs correspondantes de C y différera d’aussi peu qu’on le voudra de B cos(p 4- c’est-à-dire de y), et, comme, pour ces mêmes valeurs, x est égal à le mobile passera aussi près qu’on le voudra du point P.