CHAPITRE XIII. — MOUVEMENT d’uN POINT SUR UNE SURFACE

particulier cette remarque à la détermination des lignes géodésiques des surfaces de révolution.

Prenons Taxe de révolution comme axe des -S ; l’équation de la méridienne dans le plan des xz étant z = (z{x)^ l’équation de la surface sera évidemment ^ = 0(7’), r désignant la distance d’un point à l’axe, /’ = sjx'^-^ry^- Appelons r et 9 les eoordonnées polaires de la projection P du mobile sur le plan xOy] nous aurons les expressions suivantes :

iP=:rcosO, jF = 7’sin6, ^ — cp(/’)

des coordonnées d’un point de la surface en fonetion de deux paramètres r et 9. L’expression du carré de l’élément linéaire est

ds^ = dx^ 4- dy^ -i- dz^- =(14- cp'2) di'‘*- 4- d^^^

où l’on a écrit o' au lieu de Puisque nous cherchons les

lignes géodésiques, nous étudions le mouvement d’un mobile qui glisse sur la surface et qui n’est sollicité par aucune foree donnée. Ce mobile n'est donc soumis qu’à la seule réaction. Le théorème des forces vives donne

ds^- , df^ “ ’

puis le théorème du moment de la quantité de mouvement montre que le théorème des aires (n° 203) s’applique à la projection du mouvement sur le plan des xy, c’est-à-dire

r'2<rZ6 = G dt.

Ces deux équations fournissent donc deux intégrales premières. Nous allons montrer que l’intégration se ramène à des quadratures. En effet, l’intégrale des forces vives, dans laquelle on remplace ds^ par sa valeur, devient

r^-dQ^-= çldtK

Pour avoir la projection de la trajectoire sur le plan des xy^ nous éliminerons le temps au moyen de l’équation des aires

r^dd = Cdt;

dr^{i-h cp'2)^ ^

nous aurons ainsi

d’où, en posant-^ = ^ et résolvant par rapport à c/9,

On déterminera le signe qu’il faut prendre par la considération du sens de la vitesse initiale. L’équation sous forme finie des lignes géodésiques sera donc

/'VP

Cette équation contient deux constantes k et qu’on peut déterminer, par exemple, par la condition que la ligne géodésique passe par deux points donnés. Sur ces deux constantes, la mière entraîne la forme de la courbe; la variation de la secoiide correspond à uno rotation de la ligne géodésique autour de Haxe de la surface.

En appelant d<7 un élément d’arc de la méridienne, on a d<j^ = dr^-+- dz^= (i -h cp'2) dr-^

et l’on peut écrire l’équation différentielle des lignes géodés

iques

db =

Remarque. — Dans le cas actuel, on aurait

Cp'2) r2 0'2]^

OÙ cp' est une fonction de r. L’une des équations de Lagrange est

dt\d^’) âd

comme T ne contient pas 9, ^ est nul, et cette équation donne, après une intégration,

on retrouve ainsi l’équation des aires.