CHAPITRE XIII. — MOUVEMENT d’uN POINT SUR UNE SURFACE. 5oS

^74. Formule de Clairaut. — Si l’on appelle i l’angle sous lequel une ligne géodésique de la surface de révolution coupe le méridien passant par un point M de cette ligne et /■ la distance du point M à l’axe, on a pour tous les points de la ligne la relation

(i) rsint'=Â’,

qui caractérise les lignes géodésiques.

En effet, si l’on considère le mobile qui décrit la ligne géodésique dans les conditions précédentes, le moment de la quantité de mouvement ou, ce qui revient au même, le moment de la vitesse du mobile par rapport à l’axe est constant; la valeur constante de ce moment est précisément égale à la constante G des aires sur le plan perpendiculaire à l’axe, car le moment de la

vitesse par rapport à l’axe est Décomposons la vitesse v

du mobile M en deux composantes, l’une i^sinf, tangente au parallèle du point M, l’autre v cos/, tangente au méridien. Le moment de la vitesse par rapport à l’axe de révolution est égal à la somme des moments de ces deux composantes, c’est-à-dire au moment de la première, rv sin/, eau le moment de la deuxième est nul. On a donc

rv sin / = C ;

mais, comme ç == Uo, on en conclut l’équation (i), la constante /v ayant la valeur ^ et étant, par suite, identique à celle qui figure dans l’équation des lignes géodésiques (n° 273).

275. Exercices. Lignes géodésiques de la surface engendrée par la révolution d’une hyperbole équilatère autour d’une de ses asymptotes.

— L’équation de la surface sera

Dans les formules ci-dessus, il faudra donc remplacer cp(r) par — et l’on aura pour équation des projections des lignes géodésiques

troisiiî:me partie.

DYNAMIQUE DU POINT

ÏOÔ

Pour que 0 soit réel, il faut que /’ soit supérieur à /:; la courbe est donc extérieure au cercle de rayon k. On peut d’ailleurs faire r = /^, car pour

cette valeur l’élément de l’intésrale devenant infini, comme î

l’intégrale reste finie. En faisant tourner les axes d’un angle convenable autour de ( fig. i66), on pourra faire en sorte que 0 soit nul pour /' = k. et l’on aura

Fig. i66.

r partant de la valeur k pourra croître au delà de toute limite, sans que 0 cesse d’être réel; G augmentant constamment avec r aura d’ailleurs une limite, car, lorsque r croît indéfiniment, l’élément de l’intégrale tend vers

zéro comme cette limite sera

Pour voir s’il existe une asymptote parallèle à cette direction il suffit,

comme on sait, de chercher si la sous-tangente polaire a une limite

pour r infini; cette limite, quand elle existe, est la distance de l’asymptote au pôle. Or on a ici

expression qui a pour limite k. La courbe a donc une asymptote D tan-