CHAPITRE XTII. — AJOUVE.^IEXT I> UN POINT SUR UNE SURFACE
gente au cercle de rayon /, . On peut démontrer que l’angle est supérieur
' ' rr
a — ; a cet eflet, posons — = u, nous aurons ■1 r
pour k = oo, 6 = — ; quand k diminue, eet angle augmente, et, si l’on suppose que k devienne très petit, l’élément de l’intégrale deviendra de plus en plus grand et croîtra indéfiniment, tL a done une valeur quelconque
entre — et oo. En prenant le signe — devant le radical, on aurait eu la
seeonde branche de la eourbe symétrique de la première par rapport à l’axe des
On diseutera de même les lignes géodésiques des surfaces de révolution du second ordre, dont on trouvera une étude détaillée dans le Traité des fonctions elliptiques d’Halphen, t. II, Ghap. VI. Pour des surfaces de révolution quelconques, on verra que, si la méridienne a des branehes infinies, il y a des lignes géodésiques à branches infinies. S’il y a sur la surface un parallèle minimum, ce parallèle forme une ligne géodésique et il existe, en général, des géodésiques qui lui sont asymptotes. Pour une étude approfondie de ces courbes, nous renverrons aux Leçons sur la théorie des surfaces de M. Darboux (3® Partie),
276. Mouvement d’un point pesant sur une surface de révolution à axe vertical 0.^, — L’intégration des éc[iiations de ce mouvement se ramène à des quadratures. Le théorème des forces vives donne d’abord
dmv‘^-
- mg dz ou 0°*- — ‘ig Z ^
en prenant l’axe des z dirigé vers le bas. Le théorème des aires s’applique et donne
<5^0 = C dt.
Si l’équation delà surface est 5 = ^(/ ), on aura
dr- r^ d^^
En éliminant alors le temps et la vitesse entre ces trois équations, il viendra
dî'’^{i -h cp'2) -1- r-d^^ = (/’) H- /i]
r'^cm
DYNAMIQUE DU POINT
les variables se séparent iinmécllatenient et l’on a 8 en fonction de r par une quadrature :
[‘ig o{r) -H /i]u2
On intégrera de même par des quadratures toutes les fois que le mobile sera sollicité par des forces dérivant d’une fonction de forces qui s’exprimera en fonction de r seulement.
En supposant la surface algébrique, M. Kobb a déterminé les cas dans lesquels le problème se ramène aux fonctions elliptiques [Acta mathematica, t. X).
On trouvera une étude analytique intéressante du mouvement d’un point pesant sur une surface de révolution dans un Mémoire de M. Otto Staude [Acta mathematica, t. XI).
Remarque. — Un point pesant assujetti à se mouvoir sur une surface de révolution ne peut décrire un parallèle de la surface que si le sommet du cône des normales, le long de ce parallèle, se trouve au-dessus de ce parallèle.
L’équation de la surface est, en effet,
^ = çp(r) ou Z — y^-) = o.
En revenant alors aux équations générales du mouvement sur line surface, on aura
(Px
~dF
Pour que la trajectoire soit le parallèle z — z^, il faut que ces équations soient satisfaites par les conditions z = x = i\ cos8, y = /’o sin 8 ; d’autre paît, le théorème des aires donnera
/•^^ = C = /’oUo, Uo désignant la vitesse initiale nécessairement tangente au parallèle, d’où 8 = On devra, par suite, avoir
Ces deux dernières équations se réduisent à
rp
