CHAPITRE XIII. — MOUVEMENT d’uN POINT SUR UNE SURFACE
Donc cp'(/’o) d'oil être négatif. Si cette condition est remplie, le sommet du cône des normales se trouve au-dessus du parallèle : en lançant le mobile sur ce parallèle avec la vitesse
Co= s/—
on lui fera décrire le parallèle.
Ce résultat se vérifie aisément par la Géométrie : il suffit d’exprimer que la résultante du poids et de la réaction normale est
dirigée vers le centre du parallèle et égale à
277. Pendule sphérique. — Le pendule sphérique est eonslitué par un point pesant mobile sans frottement sur une sphère fixe. Prenons pour origine le eentre de la sphère et pour axe des s une verticale dirigée vers le bas. En coordonnées semi-polaires, l’équation de la sphère sera
en désignant par l la longueur du pendule.
Le mobile est soumis à l’action de deux forces, son poids et la réaction normale de la sphère; le théorème des forces vives donne donc
puisque le travail de la réaction est nul. De plus, les deux forces étant dans un même plan avec l’axe des s, on peut appliquer le principe des aires à la projection du mouvement sur le plan xOy :
/’2 d^=C dt.
Ces trois équations déterminent z, r et 0 en fonction de t.
Cherchons d’abord à déterminer z : il faudra pour cela éliminer ;■ et 0. L’équation des forces vives peut s’écrire
= Ig Z + h.
De l’équation de la sphère ;• == y/ /2 — ^2^ déduit
— Z dz
dr =
d’autre part, l’équation des aires donne
C dt C dt
dd =
JIO
DYNAMIQUE DU POINT
en portant clans Fécj[uation des forces vives, nous aurons
en posant on en tire
o(z) = {'igz + h)(l^--z^-)-C\
± /cp(^),
Le temps est ainsi donné en fonction de .s par une quadrature elliptique. Le signe à prendre se détermine par les conditions initiales. Il n’y a d’ambiguïté que si = o : on verra alors si ^ doit croître ou décroître, en
partant de cette valeur, pour que o{z) reste positif.
La formule di) — montre que la projection du mobile sur xOy
tourne toujours dans le même sens autour de l’axe des .s, à moins que l’on n’ait C = o, auquel cas, l’angle 6 restant constant, on aurait un pendule simple. Si, dans cette formule, on remplace et clt par leurs valeurs en .3, on a
±Cldz
i et 6 sont ainsi définis en fonction de z\ on aura ensuite r par l’équation de la sphère. Pour que les intégrales soient réelles, il faut que cp(^) soit positif. Ce polynôme a ses trois racines réelles. 11 suffit, pour le voir, de substituer à -s la suite — cc, — /, .So, H- l-, fiui donne à cp(.s) les valeurs successives -I- oc, — C^, o{zq)^ — C-, et de remarquer que, Zq étant la valeur
dz
initiale de ©(^o) est positif, car la valeur initiale de est réelle; il y a
donc deux racines réelles a, ^ dans les intervalles + /, et 5q, — l, et une racine Y entre — l et — oc. La somme des produits deux à deux de ces racines a pour valeur — • on a donc
comme a et p» sont compris entre — l et -h C Z2-ha[3 est positif; y étant négatif, a H- (3 est positif; le parallèle équidistant des parallèles .s = a, ^ 6 est donc toujours situé au-dessous du centre et la racine a est
toujours positive. La variable z partant de la valeur Zq comprise dans l’intervalle restera toujours dans cet intervalle, car, si elle en sortait, o(z) deviendrait négatif.
Supposons, pour fixer les idées, que .s aille d’abord en décroissant à partir de z = il faudra prendre le signe — devant le radical : 5 ira en décroissant jusqu’à et, lorsque le mobile atteindra le parallèle BB'(5==
en Bj, la trajectoire aura une tangente horizontale, puisque ~ est nul en
