CHAPITRE XIII. — MOUVEMENT d’lN POINT SUR UNE SURFACE. 5ij

présente la forme que nous indiquons {Jig. 169); elle pourrait d’ailleurs avoir des inflexions.

On doit à Piiiseux. {Journal de Liouville, i84a) la démonstration de la propriété que nous avons énoncée plus haut : l’angle W == BjOAi est toujours supérieur à un angle droit. Cet angle a, en effet, pour valeur

Nous avons désigné par a, j3, y les racines de : nous aurons donc

l’identité

cp(z) = {‘igz^h){l-—z^) — C^-=‘ig{a — z){z — ^)\{z — -()\ en égalant les termes en z, nous avons déjà obtenu

on peut alors écrire, en remplaçant y par cette valeur,

^ ^ (.s — P) [«(a H- H- /2 oc[3] ;

faisons z — l dans cette identité, il viendra

en posant

nous aurons

C^A.Bi/-^,

et, par suite.

/AB dz ^

pour avoir des limites de cette intégrale, nous déterminerons des limites entre lesquelles reste compris le dernier facteur z{a.-\- P) -t- Sup-

posons qu’on ait trouvé deux quantités positives constantes P et Q telles que, pour les valeurs de z comprises entre ex et p, on ait

P^s(a-i-P)4-/2 4-.ap^Q;

alors l’intégrale ^ sera comprise entre les deux valeurs qu’elle prendrait

5l^ TROISIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE DU POINT,

si l’on y remplaçait successivement x;(a -f- -f- par P et par Q :

L’intégrale définie qui figure dans cette formule, ne contenant que la racine carrée d’un trinôme, peut se calculer facilement; on trouve qu’elle

a pour valeur —

l’inégalité précédente devient alors

(A + B)< iF < (A + B).

Un premier choix des limites P et Q, qui donne immédiatement le théorème de Puiseux, est le suivant ; le facteur ^ (a -h ^) -+- -i- varie dans

le même sens que 2, car le coefficient a -h est positif : comme ^ est compris entre -h Z et — Z, ce facteur est compris entre Z(a H- P) -h Z^ aj3 et — Z(a -h [3) H- Z^H- a^, c’est-à-dire entre B^ et A-. On peut donc prendre P = B’h Q = A^, et l’on voit que W est compris entre les deux

^ et toutes les deux supérieures

à Lorsque la vitesse initiale est très grande, ces deux limites sont très

voisines de tt ; en effet, lorsque Pq augmente au delà de toute limite, h et G2 augmentent indéfiniment, et l’équation cp(^) = o, après qu’on a divisé tous ses termes par A, piend la forme

où désigne une constante. Dans ces conditions, une des racines y du polynôme cp(-s) devient infinie, et les deux autres a et ^ tendent vers les racines du trinôme ci-dessus qui sont égales et de signes contraires. On a donc, dans ce cas limite, = — a, A = B, et les deux limites que nous

venons de trouver pour W sont égales à tt. On voit ainsi que, quand Pq augmente indéfiniment, W tend vers tt; la trajectoire tend alors à devenir un grand cercle. Halphen a démontré {^Traité des fonctions elliptiques, t. IJ, p. 128) que l’angle W ne peut pas dépasser la limite tc. M. de Saint- Germain a établi cette même proposition par une voie plus élémentaire {Bulletin des Sciences mathématiques, 1896, 1898, 1901, et Mémoires de l’Académie de Caen, 1901).

Revenons po,ur un instant au cas général : nous pouvons trouver des limites plus rapprochées que les précédentes pour la valeur de W. En effet, le facteur .«(a -h H- Z^-h variant dans le même sens que 5 est compris, dans l’intégrale qui donne W, entre les valeurs extrêmes qu’il prend pour s = a et .s = On pourra donc prendre

limites —