CHAPITRE XIII. — MOUVEMENT d’UN POINT SUR UNE SURFACE
et l’on trouvera
Quand [3 tend vers a, ces deux limites deviennent égales : on a donc lim^ = - - (pour 8 = a).
Cette formule donne la valeur de quand la trajectoire est comprise entre deux parallèles infiniment rapprochés. Si, de plus, ces deux parallèles infiniment rapprochés se trouvent très près du point le plus bas de la
TC
sphère, a est très voisin de l et W voisin de — • Dans ce dernier cas, la trajectoire est voisine d’une petite ellipse : c’est ce que nous trouverons plus loin en étudiant les oscillations infiniment petites.
278. Calcul de la réaction normale. — Comptons la réaction normale N positivement vers le centre de la sphère; la formule générale établie précédemment (n" 269),
?nv^
donne immédiatement N. En effet, R est égal au rayon l de la sphère, v^=z ‘2gz-^h., et projection du poids mg sur le rayon, est — on a donc
Cette réaction est la même fonction linéaire de ^ que dans le cas du pendule simple. Si le mobile est attaché par un fil flexible, sans masse, au centre de la sphère, il quittera la sphère au moment où la réaction N s’annulera pour devenir négative, et tombera ensuite en décrivant une parabole osculatrice à la trajectoire antérieure sur la sphère.
Si le mobile ne peut pas quitter la sphère, par exemple s’il est placé entre deux feuillets sphériques infiniment rapprochés, il pressera sur le feuillet extérieur quand N sera positif et sur le feuillet intérieur quand N sera négatif. Dans ce cas, la projection horizontale de la trajectoire présentera un point d’inflexion aux points où N s’annule. En effet, dans une position quelconque du mobile, le plan osculateur à la trajectoire contient la résultante des forces N et mg\ en un point où N = o, le plan osculateur contient le poids mg., il est vertical et la projection horizontale du point considéré est un point d’inflexion. Ce cas ne peut pas se présenter si a et ^
sont positifs, car, ^ restant alors positif, la reaction — 1 j— est essen-
tiellement positive {voir Exercice 24).
279. Intégration par les fonctions elliptiques. — On peut transformer les formules que nous avons établies, de façon que les variables soient exprimées en fonctions uniformes de t\ c^est ce que nous allons faire maintenant. Nous avons trouvé
dt —
Idz
comptons le temps à partir du moment où le mobile passe au point le plus bas Al : nous devrons prendre le signe — devant le radical et nous aurons
l dz
s/ig{cL — z){z—^){z~q) ctgs
pour ramener cette intégrale à la forme canonique, posons a — ^ = (a —
comme ^ varie entre les valeurs limites a et {3, u oscillera entre o et i. De cette dernière égalité, nous tirons successivement
Z = a. — (a — dz——‘i{'x — ^)udu\
en substituant dans la valeur de il viendra
sfïg
•2 du
l Jo /(a — y) (l—
où nous avons posé
quantité essentiellement positive et moindre que i, puisque a est la plus grande des trois racines a > ^ > y- En écrivant enfin
nous aurons
c’est-à-dire
Jo /(l— w2)(l
U = snX if.
d’où
^ = a — (a — P) sn'2 X t ;
