X -\-iy — re^i — y
C lit
on démontre que l’exponentielle n’admet pour points critiques que les valeurs de t correspondant aux valeurs z=àzl^ et que le produit
Ç ç.dt
n’admet plus ces points critiques : c’est alors une fonction uniforme de il en résulte que la partie réelle x et la partie imaginaire y sont toutes deux fonctions uniformes de t. Cette méthode est due à Tissot {Journal de Liouville, i852).
Hermite a donné une démonstration directe de cette même propriété {Journal de Crelle, t. 8S).
La recherche de ces fonctions a?, y se rattache d’ailleurs à l’intégration d’une équation différentielle du second ordre, qui est un cas particulier de l’équation de Lamé, étudiée par Hermite {Sur quelques applications des fonctions elliptiques). Nous avons, en effet, trouvé précédemment qu’en désignant la réaction de la surface par N on avait
in
dt^
Na7
avec
DYNAMIQUE DU POINT
par suite
~dï^ P ^
dans celte formule, remplaçons .5 par la valeur que nous avons trouvée plus haut, nous obtenons
(Px 3,.o[a — (a — [3)sn2X if] -h /i
~dn ^
c’est une équation linéaire qui admet x pour intégrale particulière; elle admet également y pour intégrale, puisque l’équation en y
dp
est de même forme que l’équation en x. Si l’on pose alors Xif = l’équation précédente prend la forme
^ = :r(6A-2sn2?'-r- /r'),
h' désignant une constante; c’est l’équation de Lamé
dj^ oc
— x\^n{n \ ) Ip sn^ if' -1- h' ] ,
où l’on fait 7i — 2.
280. Théorème de M. Greenhill. — On doit à M. Greenhill l’intéressante remarque suivante : quand le pendule sphérique est lancé horizontalement au niveau du centre, il existe une combinaison linéaire des intégrales donnant 0 et if qui est une intégrale pseudo-elliptique , c’est-à-dire qui peut s’exprimer à l’aide des fondions élémentaires. En effet, les A^aleurs initiales de z et y étant supposées nulles à l’instant t = o, on a, en appelant Co la vitesse initiale supposée horizontale,
G — Içoj h — ('5',
P- Co dz
s/zY^g{P — z^) — vlz\
équations qui donnent, comme on le vérifie sans peine,
t = are sin
Vq\J Z
^J'IgiP—Z^)
CHAPITRE XIII. — MOUVEftlENT d’üN POINT SUR UNE SURFACE. OU, en appelant l’angle du pendule avec la verticale, z — l coso,
sincp sin ( 0
Ço
ol
\/1gl
coscp.
Cette relation, jointe à celle qui donne z ou / coscp en fonction elliptique de permet d’exprimer x, jk, ^ en fonctions uniformes de t.
281. Oscillations infiniment petites. — En introduisant la réaction normale N, on a pour les équations du mouvement du pendule
do
Si les oscillations sont suffisamment petites, a? et y resteront très petits; nous les considérerons comme infiniment petits du premier ordre, et nous négligerons les termes du second ordre. A cet ordre d’approximation, on aura z = l, puisque la formule de Taylor donne
et le deuxième terme du développement est du second ordre. Faire l’approximation dont nous parlons revient ainsi à admettre que le mobile ne quitte pas le plan tangent. La dernière des équations (i) se simplifie et donne
en portant cette valeur dans les deux premières, nous obtenons
df^ ~ l
do
ce sont les équations du mouvement d’un point sollicité par une force centrale proportionnelle à la distance; la trajectoire sera une ellipse ayant son centre sur l’axe des .s. Nous voyons effectivement que ces équations linéaires ont pour intégrales générales
a? = A cosi ^ y -f- B sin Z y =. A'cos t
Nous supposerons qu’on ait pour ^ = o
dt
X = Xo,
—T = O, dt
DYNAMIQUE DU POINT
ce qui revient à faire passer le plan zO x par un des sommets de la petite ellipse. Il en résultera les valeurs suivantes des constantes
d’où
X — X(^ cos? ^ JJ
L’élimination de ? donne immédiatement l’équation d’une ellipse ; la durée de la révolution est
On peut pousser plus loin l’approximation en conservant les termes du second ordre; il suffit pour cela de remplacer dans les seconds membres des équations (i) N par sa valeur obtenue par la première approximation : ce calcul a été fait par Tisserand {Bulletin des Sciences mathématiques, année i88i).
D’autres méthodes d’approximation ont été données par Resal {Mécanique générale, t. J, p. i8o), et par M. de Sparre (yf/î/ia/ei la Société scientifique de Bruxelles, 1892.)
EXERCICES
1. * Un point M, de masse égale à l’unité, est assujetti à se mouvoir sur la surface représentée, en coordonnées rectangulaires, par l’équation
il est attiré par chaque élément de l’axe des .s avec une force égale au quotient de la longueur de l’élément par la quatrième puissance de sa distance au point M Discuter le mouvement que peut prendre le point mobile : projection de sa trajectoire sur le plan des xy. Étudier le cas où, à l’instant initial, le point M se
trouve sur l’axe des x avec une vitesse égale à et faisant un angle de 45"
avec le plan des xy. (Licence, Caen.)
2. Un point non pesant se meut sur une sphère fixe x^ y- y"'- -y z"'- — R^3= o sous l’action d’une force dirigée normalement vers le plan des xy égale à — ^j lé^ désignant une constante. Trouver le mouvement et la réaction normale.
(La trajectoire est une conique sphérique.)
3. Considérons un point matériel i\I, de masse égale à l’unité, sollicité par une
