CHAPITRE XIII. — MOUVEMENT I)’UN POINT SUR UNE SURFACE. 5'AI

force F dont les projections sur trois axes rectangulaires sont les dérivées partielles d’une fonction de forces

l’équation U = const. représente une surface de niveau dont l’intersection avec une surface quelconque S peut être appelée ligne de niveau sur S. Déterminer cette dernière surface, de manière que le point M, obligé de rester sur elle, et abandonné sans vitesse initiale à l’action de F, décrive toujours une trajectoire C orthogonale à toutes les lignes de niveau; si, par exemple, M n’était sollicité que par la pesanteur, il devrait tomber sur la surface cherchée suivant une ligne de plus grande pente.

Démonti'er que le sinus de l’angle sous lequel une surface de niveau coupe S varie aux divers points de la ligne H d’intersection en raison inverse de F (A. de Saint-Germain, Journal de Math., octobre 1876).

4. Un point libre, sollicité seulement par une résistance de milieu, décrit unc di’oite. Démontrer qu’un point mobile sur une surface et 'sollicité seulement par une résistance de milieu et un frottement décrit une ligne géodésique.

5. Un point matériel pesant assujetti à rester sur la surface d’une sphère de rayon a est attiré proportionnellement à la distance par un point fixe B, situé sur la verticale du centre de la sphère, à une distance OB = b du centre. On donne la valeur p. de l’attraction à l’unité de distance, l’intensité g de la pesanteur, la vitesse initiale k du point mobile, laquelle est supposée horizontale, et enfin la distance initiale h de ce point au plan horizontal Oxy, qui passe par le centre de la sphère. On demande : 1° de trouver les limites entre lesquelles variera pendant le mouvement l’ordonnée .s du point mobile; 2° de déterminer complètement ce mouvement dans le cas particulier où l’attraction du point fixe B sur le centre de la sphère est égale et contraire à la pesanteur.

6. Mouvement d’un point mobile sur une sphère et attiré par un plan diamétral proportionnellement à la distance. [On est ramené à l’intégration d’une équation de Lamé (Kobb, Comptes rendus, t. CVIII).]

7. Lignes géodésiques de V ellipsoïde. — Comme conséquence de la relation /? D = const,, démontrée dans le texte ( n“ 270), on démontrera les propositions suivantes :

' Soient O et O' deux ombilics de l’ellipsoïde non diamétralement opposés, MO et MO' les deux lignes géodésiques joignant un point M aux deux ombilics; ces deux lignes sont également inclinées sur chacune des lignes de courbure passant par .M,

Si le point M décrit une ligne de courbure, la somme ou la différence des arcs de courbes géodésiques MO ± MO' est constante. (Voir Journal de Liouville, i8j6,)

8. Lignes géodésiques du tore (Resal, Comptes rendus, t, XC, p. 937).

9. Lignes géodésiques de la surface engendrée par une chaînette tournant autour de sa base (6 est donné en r par une intégrale elliptique de première espèce, qui se met immédiatement sous la forme normale).

9 bis. Lignes géodésiques de l’hyperboloïde à une nappe engendré par perbole — — — = i. En appelant e l’excentricité de l’hyperbole, on trouve pour équation de la projection des lignes géodésiques

db =

k dr /

6 s’exprime donc par une intégrale réductible aux intégrales elliptiques. La courbe a une forme analogue à celle du n“ 275. Pour k — a, elle est asymptote

au cercle de gorge r = a', pour k — la courbe se réduit à une génératrice.

10. Courbure des lignes géodésiques des surfaces de révolution. — Soient R et R' les rayons de courbure principaux en un point d’une surface de révolution, r le rayon du parallèle correspondant, i l’inclinaison de la ligne géodésique considérée sur la méridienne, p son rayon de courbure : démontrer la formule

k désignant, comme dans le texte, la valeur constante du produit rsinf le long delà ligne géodésique considérée (Resal, Nouvelles Annales, février 1887).

11. On lance sur une surface un point pesant : démontrer qu’on peut prendre la vitesse initiale assez grande pour que, sur une certaine longueur à partir de la position initiale, la trajectoire diffère aussi peu qu’on le veut d’une ligne géodésique.