CHAPITRE XIII. — MOUYEMEXT d’l'N POINT SUR UNE SURFACE
14. Mouvement d’un point sur la sphère sous l’action d’une force constamment située dans le plan du méridien du mobile. — Le rayon de la sphère étant supposé égal à Tunité et la position du mobile étant définie par la longitude 6 et le complément cp de la latitude, on considère un mobile sollicité par une force constamment située dans le plan méridien et l’on appelle F la projection de cette force sur le plan tangent à la sphère, F étant regardée comme positive ou négative, suivant que cette composante est dirigée dans le sens des 9 croissants ou en sens contraire. Démontrer les formules suivantes, analogues à celles de la théorie des forces centrales et, en particulier, à la formule de Binet :
sin^9 = C — = F <i9,
singes
cotges
d"^ cot 9 6^02
(Paul Serret, Théorie géométrique et mécanique, etc., p. igS.)
Exemple. — Si F a pour valeur la trajectoire est une conique sphérique
ayant pour foyer le pôle. (Analogie avec le mouvement des planètes.)
15. Établir des formules du même genre pour le mouvement d’un point sur une surface de révolution sous l’action d’une force constamment située dans le méridien du mobile.
16. Transformation de mouvements. — Soit dans un plan fixe un point matériel de masse t sollicité par une force F dont les projections X et Y sont des fonctions des seules coordonnées x et y du point.
Les équations du mouvement sont
dT ~ ■ de
Faisons la transformation homographique
ax + by -^c a' x b' y y- c'
— 7^7 7’ — TTT 7’
en remplaçant la variable indépendante t par une variable liée à t par la relation
, . clf
Démontrer que le point {x.^, yf se meut dans le temps t^ comme un point de masse i sollicité par une force F^ dont les projections X, et Yj dépendent seulement de x-^ et y^. La trajectoire du point (a?,, y^) est la transformée homographique de celle du point (^, y), la direction de Fj est la transformée homographique de celle de F.
La force F étant centrale, F, est ou centrale ou parallèle à une direction fixe (Appell, Comptes rendus, t. CVIII, p. 224).
17. Inversement, si l’on cherche la transformation la plus générale de la forme
dt.^ —\{x, y) dt,
TROlSIEMIî PARTIE.
DYNAMIQUE DU POINT
telle que la nouvelle force F, dépende seulement des coordonnées jPj, et cela quelle que soit la loi de F en fonction de x et y, on trouve seulement la transformation homographique ci-dessus {American Journal, t. XII).
18. Transformation cTun mouvement sphérique en un mouvement plan. — Étant donnés une sphère (S) de rayon i et un plan tangent (P) à cette sphère» nous ferons correspondre, à un point Mj de la sphère, la projection M de ce point sur le plan (P) faite par le rayon allant du centre au point c’est la projection bien connue qu’on appelle centrale dans la théorie des Cartes géographiques; elle fait correspondre à toutes les droites du plan ( P) des grands cercles de la sphère (S) et réciproquement. Au point de vue analytique, si l’on prend le point de contact du plan (P) et de la sphère (S) comme pôle d’un système de coordonnées polaires dans le plan et sur la sphère, on aura, en appelant p et w les cooi’données polaires du point M dans le plan, cp et 9 les coordonnées polaires du point Mj^ sur la sphère colatitude et 6 longitude), les formules de transformation
{a) P = tangcp, w = 9.
Les équations du mouvement plan seront, d’après Lagrange,
cPp
cW
clt V dt J
R et étant des fonctions de p et w. De même, si l’on considère sur la sphère un point ayant pour masse i et se déplaçant pendant le temps t^, les équations du mouvement seront
—ri sincs cos «3 — = 4>,
dt\ • ‘ \dt J
dt^
4» et 0 étant des fonctions de cp et 9. Démontrer que, si l’on fait sur les équations (ô) du mouvement plan la transformation définie par les formules {a) de la projection centrale et si l’on établit entre les temps t et t^ la relation
— cos^cp c/if,
les équations {h) prennent la forme (c) où
cos^ cp
COS^cp
Donc à tout mouvement sur le plan correspond un mouvement sur la sphère, et récipi’oquement : la trajectoire de l’un des points est la transformée de la trajectoire de l’autre par projection centrale (Appell, American Journal, t. XIII). Appliquer cette transformation à l’exemple 14.
19. Démontrer plus généralement qu’on peut transformer de la même façon le mouvement d’un point sur une surface à courbure constante en un mouvement plan ( Dautheville, Annales de VÉcole Normale supérieure, 1890).
20. Un point qui h’est sollicité par aucune force donnée se meut sur un plan qui tourne avec une vitesse angulaire constante w autour d’un axe fixe auquel il est invariablement lié. Trouver le mouvement et calculer la réaction.
(DE Saint-Germain.)
