ÉQUATIONS DE LAGRANGE POUR UN POINT LIRRE

282. Équations de Lagrange. — Nous avons donné dans les Chapitres précédents, pour le mouvement d’un point sur une surface ou une courbe, fixe ou mobile, les équations indiquées par Lagrange. La même méthode permet d’écrire les équations du mouvement d’un point libre dans un système quelconque de coordonnées; cette méthode est de la plus haute importance, car elle s’applique au mouvement d’un système holonome quelconque.

Supposons que les coordonnées cartésiennes z du mobile

par rapport à trois axes rectangulaires soient exprimées en fonctions des nouvelles coordonnées (/,, par les formules

= cp(^i, ^2, ^3), ju = 5^2, <73), ^ = q%, q%)\

il s’agit d’écrire les équations du mouvement dans le nouveau système de coordonnées, c’est-à-dire d’écrire les équations dilFérentielles qui définissent <^2? ^3 en fonction du temps. On pourrait, à la vérité, [irendre les équations mêmes du mouvement définissant y, 5 en fonction de t et y faire le changement de fonctions défini par les formules ci-dessus; mais ce serait là un long calcul que la méthode de Lagrange a précisément pour but d’éviter. Cette méthode s’applique même au cas où les coordonnées cartésiennes seraient des fonctions données, non seulement de trois nouvelles coordonnées q^i ^3, mais aussi du temps : cela revient, au point de vue géométrique, à dire qu’elle s’applique même si le nouveau système de coordonnées est mobile et animé d’un mouvement connu.

Nous supposerons donc, pour traiter le cas le plus général, que x^y^ Z soient des fonctions données de q^^ q^ et de 7 :

= '^{qu q%-> ^3, t), y = ^2, q^, t),