CHAPITRE XIV. — ÉQUATIONS DE LAGRANGE

Pour trouver les équations du mouvement dans le nouveau système de coordonnées, c’est-à-dire les équations différentielles définissant ^25^3 en fonction du temps, écrivons les équations du mouvement en coordonnées cartésiennes

df^

d‘^ Z dt~

Multiplions respectivement ces trois équations par — ^

et aioutons-les membre à membre: nous aurons dq^ J

fd^^x dx d^y dy d^z dz \

\ dt- dqi dt'^ dqi dt'^ àqx)

en posant

Qi=x

dx

ôqx

X, Y, Z étant donnés en fonction de y, 5 et de leurs dérivées par rapport à il sera facile de calculer Q^ en fonction de q^ et de leurs dérivées par rapport à puis, pour calculer le premier membre, remarquons que l’équation précédente peut s’écrire

( d r / dx dx dy dy dz \ T

) dt dqx dt dq^ dt é^i/J

^ ^ I r dx d ( dx\ dy d / dy\ dz d / dz

\ ^^Ydtdt\dqx)'^ dt dt \ dq^ ) ^ dt dt \ dqx / J ~

Pour simplifier l’écriture, nous poserons avec Lagrange

dx

dt

dq

dt

L’équation

dt dt dt

donne alors, si l’on prend les dérivées des deux membres par rapport à

, dx , dx , dx , dx

5a8 TIIOISIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE DU POINT.

on en déduit, comme au n° 263, Jes formules

dx' àqt

ùx

dx'

' dx '

àqi ~

dq'x

yàqx.

même

les i

dentités

ày

àqx

àq'x

dt \

dz

dz.'

' dz '

àqx ~

Wx

’ dt \

.àqx.

dz'

Par suite, ou peut écrire l’équation (2)

Posons maintenant

T désigne donc la demi-force vive du mobile. En y remplaçant .2?^, y’ ^ z' par leurs valeurs (3), T devient une fonction des variables <7,, ^3: ^2’ ^3* ^vec cette notation, on voit immédiate-

ment que l’équation (2') peut s’écrire

dt

Un calcul tout semblable donnerait

dt

dt\dq’^) dq^ ^

L’expression T contient les variables ^3 et leurs déri-

vées premières; il en résulte que les équations de Lagrange que nous venons d’obtenir sont du second ordre; leurs intégrales générales contiendront donc six constantes arbitraires qu’on déterminera par les conditions initiales.