CHAPITRE XIV. — ÉQUATIONS DE LAGRANGE

On a iinmédialeinent l’expression T quand on connaît l’expression de ds- dans le système des coordonnées ^2? ^35 car rp m ds-

Calcul des seconds membres. — On pourrait remplacer, dans Qij Q27 Qs' ^7 Y, Z par leurs valeurs, mais on peut souvent simplifier ce calcul. Supposons d’abord qu’il j ait une fonction de forces U; dans ce cas, on aura

par suite

„ éU ^ d\] „ éU

âx dqi ày dqx dz dqi

Si l’on suppose alors que dans U on remplace .a?, jk, ^ pac leurs valeurs en fonction de ^3, l’équation précédente s’écrit

On aurait de même

Ces formules conviennent même au cas où X, Y, Z seraient les dérivées partielles |)ar rapport à y, ^ d’une fonction U(^, y., t) contenant explicitement le temps, quoiqu’on ne puisse plus dire alors que les forces dérivent d’une fonction de forces.

Dans le cas le plus général, on peut encore simplifier le calcul de Q), Qo, Qa.Dans les équations du changement de coordonnées

^ ^2, qz, t),

y = ^{qu ^2, qz^ t),

Z = w{qx, ^2, qz, t),

donnons à t une valeur déterminée et supposons que cj^, cj^-, cj^ prennent les accroissements virtuels arbitraires 0^27 0^3 i l^s

accroissements de z seront

dx ^

dx ^

dx ^

ox =

àqi

dy ^

dy ,

oy =

OCJi -h

àqi

dq^

^qs

dqz

dz ^

Bz =

àqi

- — 0^2 + dq2

-, — ^q% dqz

le travail élémentaire des forces pour le déplacement virtuel correspondant est