CHAPITRE XIV. — ÉQUATIONS DE LAGRANGE. 53 I
et T est une fonction homogène du second degré de y', q[, :
on a donc, d’après le théorème des fonctions homogènes,
, f)T , dT , dT
Gela posé, prenons les équations de Lagrange, où Qi, Qo, Q3
1 , éU éU éU . ' , , ,
sont remplaces par —, —, —, et ajoutons-les, apres les avoir
multipliées par q\^ q.^^ q[^ : nous aurons
d / dT
dt \dq\
àT
àq,
dü
dT
dt \dq'.2 dT
, dT dt \ dq’^
dq^
, éU
^ ^ dq ^ ^ ^ dq^ dq^
Le deuxième membre de cette équation est évidemment
car U ne dépend de t que par l’intermédiaire de q^^ q^ \ quant au premier membre, on peut l’écrire
(jT
Wi
dq'.2
dT
dT
dT
„ éT , dT ^ , dT
dq'^ dq^ ^2
dT
dqz
^i\i 9i'> ^3 ^tant les dérivées secondes de c/2, ^3 par rapport à t.
D’après l’équation (1), fournie par le théorème des fonctions homogènes, la première parenthèse est aT; quant à la seconde,
elle est l’expression développée de puisque T dépend de t par
l’intermédiaire de , donc à
q%, <73, q\, q'x, L’équation (2) se réduit
dt
dT d\} dt dt
c’est-à-dire
dT = d\], T = ü -h A;
c’est l’intégrale des forces vives. Dans les applications, on remplacera l’une des équations de Lagrange, la moins simple des trois, par cette intégrale première.
284. Application. — Problème : Trouver le mouvement d’un point
matériel attiré ou repoussé par un axe fixe suivant une fonction donnée de la distance r {fg. J 70).
Nous avons déjà vu (n° 84) que, dans ce cas, il y a une fonction de forces / 4» dr que nous désignerons par m f{r).
Fig. 1^0.
Nous définirons la jiosition du mobile par ses coordonnées semi-polaires 6, On aura alors
rr. • « ds- m ,
T = ~ mp2= — (r'24 r2e'2+^'2).
2 2 dt^- 2 ^
Les équations de Lagrange seront, par conséquent, après suppression du facteur m,
SF-'-
d , dt
Les deux dernières donnent par intégration
Remplaçons maintenant la première équation de Lagrange par l’intégrale des l’orces vives; nous aurons
Si nous y remplaçons z' et 6' par leurs valeurs tirées de (i) et (2), nous obtenons
équation de la forme
qui donne le temps par une simple quadrature.
