CHAPITRE XIV. — EQUATIONS DE LAGRANGE
On aurait pu écrire a priori les équations (i), (9,), (3) sans passer par les équations de Lagrange. En effet, puisque la force rencontre toujours Oz, le principe des aires s’applique à la projection du mouvement sur le plan des 37/, ce qui donne l’équation (i). La composante de la force suivant
l’axe O Z étant nulle, on a =0, z — a \ c’est l’équation (9). Enfin
l’équation (3) n’est autre que l’équation des forces vives.
Entre les équations (i) et (9) éliminons le temps, nous aurons l’équation différentielle
^ cLz^ a
à laquelle satisfont les trajectoires, quelle que soit la loi de la force. Si l’on écrit cette équation en coordonnées cartésiennes, on a
X dy — / dx — k dz^
équation déjà trouvée dans l’exercice 6 à la fin du Chapitre I pour l’équation différentielle des courbes dont les tangentes sont des droites de moment nul.
285. Coordonnées polaires dans l’espace. — Soient p, ô, w les coordonnées du point M {fig. 171); posons
on aura
T = — ^ ( p'2 p26'2 p2 sin2 0U)'2 ),
Fig. 171.
Les équations de Lagrange sont donc
^ (/np') — mp(6'^ -h (o'2 sin20 ) = Qj,
^ (mp^O' ) — /?ip2to'2 sin0 COS0 = Q2, ~ ( m p2 sin2 0 to’ ) = Q3.
Pour calculer Qi, Qa, Qs, nous emploierons la méthode indiquée préeédemment. Désignons par R, Q, P les composantes de la force suivant le rayon vecteur dans le sens de p croissant, la perpendiculaire au plan .sOM dans le sens de w croissant et la perpendiculaire au plan de ces deux droites dans le sens de 6 croissant. Pour un déplacement virtuel sur le rayon vecteur (ç'a^const., ^3=eonst.), le travail élémentaire est R ou, par conséquent
Pour un déplacement p 66, quand on laisse p et œ constants, le travail élémentaire est Pp 66. Nous avons par suite
Qa=Pp.
En laissant enfin p et 6 constants, le déplacement se fait sur un cercle de centre O' et de rayon psin6; le travail élémentaire est donc Qpsin6 6w, et l’on a
Qs = Qp sin6.
Si la force F reneontre l’axe des Q est nul et la troisième équation de Lagrange donne
mp2 sin^ 6(jü' — const. ;
ce qui exprime que la projection du mobile sur le plan des xy se meut suivant la loi des aires.
286. Coordonnées elliptiques dans l’espace. — Dans le système des coordonnées elliptiques, un point M de l’espace est défini par les paramètres des trois surfaces du second ordre homofocales à une surface donnée, se coupant en ce point. Soit
l’équation des surfaces du second ordre homofocales à la surface
Si nous supposons, pour fixer les idées, a'y> h'y> l’équation (i) représentera un ellipsoïde réel pour X <C c, un hyperboloïde à une nappe pour un hyperboloïde à deux nappes pour a >■ X >> è, enfin un ellipsoïde imaginaire pour X > a. Par chaque point de l’espace il passe trois de ces surfaces homofocales; en effet, en regardant iu, jy, .s comme données, l’équation (i) du troisième degré en X admet tro-is racines réelles, une plus petite que c, l’autre eomprise entre b etc, et la troisième entre a et h\ e’est ce qu’on vérifie en substituant dans le premier membre les
