CHAPITRE I. — THEORIE DES VECTICURS

29. Application des théorèmes généraux à des vecteurs glissants parallèles. — Lorsque tous les vecteurs d’un système sont parallèles, ce système est équivalent ou à une résultante unique, ou à un couple, ou à zéro. En effet, tous les moments vectoriels composants, par rapport à un point, étant dirigés perpendiculairement à la direction commune des vecteurs, le moment résultant, s’il n’est pas nul, est perpendiculaire à cette direction; la résultante générale, si elle n’est pas nulle, est parallèle à cette direction. L’invariant LX-l-MY-l-NZ est donc nul.

Soient a, [^, y les cosinus directeurs d’une demi-droite parallèle à la direction commune des vecteurs. Appelons P^ , P2, ..., P/, les grandeurs des vecteurs estimés suivant cette demi-droite^ de sorte que les vecteurs dirigés dans le sens de cette demi-droite seront positifs, et les vecteurs dirigés en sens contraires négatifs. On aura, en appelant Xk^yk-, les coordonnées du point d’application du vecteur P/i^, ; X/f, 7jk ses projections sur les axes supposés rectangulaires, et L^, Na ses moments par rapport aux axes,

X/,-aPA, Y/,= ^Pa, Za^yPa;

La= Pa(T7/c— Ma= PA(a^A— ^(ock), Na= Pa(^^a— a/A).

Puis, en posant

P = P,-f-Po-4-...+ P,,= SPA,

le signe S indiquant une somme étendue à tous les vecteurs, on ;i, pour les projections de la résultante générale et du moment résultant,

Xr=:aP, Y=|3P, Z = yP;

L = Y ^ P/.-7/f — Pa 2a, M = a 2 Pa^a — Y^ Pa^a,

N = ^SPAiPA— aEPAjA-

On vérifie immédiatement la relation

LX + MY + NZ O.

Donc, si

P > O, système équivalent à un vecteur unique;

P = O, L2 H- M2 -h N2 > O, » à un couple unique;

P = o, L=M=N=o, )) à zéro.

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que le système soit équivalent à zéro sont donc

Remarque. — Dans le cas particulier où l’on aurait

SP/,= o, Y.VkXk—0, SP/,jk'a;=o, EP/,2/,= o,

les conditions précédentes seraient vérifiées quels que soient a, P, y ; le système serait équivalent à zéro quelle que soit la direction commune, on donne aux vecteurs parallèles, pourvu qu’on n’altère pas leurs ra|)ports de grandeurs. On dit alors que le système des vecteurs parallèles est en équilibre astatique.

Axe central. Vecteur résultant. — Supposons o ; le système est alors équivalent à un vecteur unique, dont la valeur algébrique est P et dont les projections sont aP, pP, yP; ce vecteur est dirigé suivant l’axe central : nous l’appellerons, pour abréger, le vecteur résultant du système.

Les équations de l’axe central sont actuellement

yZ — zX — h = ^X — — M = o, ^Y— yX — N = o,

car la valeur commune des trois rapports égaux qui forment les équations de cet axe est nulle. Ces équations deviennent, d’après les valeurs précédentes de X, Y, Z, L, M, IN ,

Y ( Py — S P/,yA-) — (3 ( P 2 — S P/, Z/,) = O, ... ;

on peut les écrire

P.r — EPa37^ Py — 2 P/,yA- P ^ — S V/,Zic

ou, en posant

S P /(Xk