CHAPITRE XIV. — ÉQUATIONS DE LAGRANGE

quantités suivantes à la place de X et en remarquant que les signes du premier membre sont donnés par le Tableau suivant, e réel positif et très petit :

Valeurs de X — x c — s c + e b — e b-\-z a — s a-\-z -j-co

Signes correspondants du

premier membre de (i ). — -f- — -h — -h — —

Position des racines .... q^i q\

Appelons ^2? ^^3 ces trois racines rangées par ordre de grandeurs décroissantes; la première qx donne un hyperboloïde à deux nappes, la deuxième q^ un hyperboloïde à une nappe, la troisième q^ un ellipsoïde.

Ces trois surfaces se coupent deux à deux orthogonalement, comme il est bien connu. Par exemple, les deux surfaces

se coupent orthogonalement, car la condition

dfxdf,^df^df,^df^ df, dx dx dy ày dz dz

est identique à l’équation

fl — /2 qi—q%

comme on le vérifie immédiatement. On appelle coordonnées elliptiques d’un point M(a7,jK, z') les trois quantités ^1, ^25 q%'

Pour exprimer les coordonnées cartésiennes a?, y, z en fonctions de q\^ ^2) qz remarquons que, ^1, ^2? q% étant les trois racines de l’équation (i) en X, on a identiquement

1 ^ (X — yi)(X — (/2)(X — ^3) ^ (X — ^i)(X — 9'2)(X — ^3)

Multipliant les deux membres de cette identité par a — X, puis faisant X = <2, nous avons

on trouve de même

^2 = (c — gi)(c — y2)(c — ^3) ^

Calculons maintenant l’expression de ds^ dans ce système de coordonnées; on a, en prenant les dérivées logarithmiques des deux membres des formules ci-dessus,

dqi

^ dqz

qx—a

qz—a'

dqi

dq:x

qx— b

dqx

qx— c

qz—c

D’où l’on tire pour 4 ds"^ une expression de la forme

4 ( dx°*- dy^ H- ) = Ml dq\^ M2 dq\^ M3 dq |

ne contenant pas de termes en dqidq=>...^ car les surfaces se coupent orthogonalement; il est d’ailleurs aisé de vérifier la relation

{a — qi){a — q^) {b — qi) {b — q,^) ic — q i) {c — q^^) ” ’

qui exprime que le coefficient de dqy dq% est nul. Les quantités Mi, AD, AI3 ont les valeurs suivantes :

^qi-ay- {qi-by ' ( 5^1 — c)2 ^ ’

or, si l’on prend les dérivées des deux membres de l’identité (a) par rapport à X, et si l’on fait ensuite X = ^1, en remarquant que par l’effet de cette substitution tous les termes du second membre qui contiennent X — qi en facteur s’annulent et qu’il est inutile de les calculer, on trouve

„ (?i — gaUgi— g»)

/(gO

OÙ /(X) désigne le produit (a — ~b){b — X) (c — X); on a de même

' fiq-2) ' ' fiqz)

Remarquons que, si l’on considère en particulier l’arc de la courbe Ci {Jig. 172), intersection des deux surfaces ^2=const. et ^3 = const., la